Grassmanniana

Tre piani distinti nello spazio, tutti passanti per l'origine. Ciascuno di questi piani è un punto nella grassmanniana.

In matematica, la grassmanniana di uno spazio vettoriale $V$ è l'insieme di tutti i suoi sottospazi aventi dimensione fissata $k$. Questo insieme è indicato generalmente con il simbolo

${\mathrm{Gr}}_k(V).$

Per $k=1$ la grassmanniana è l'insieme delle rette in $V$, ovvero lo spazio proiettivo

${\mathrm{Gr}}_1(V)=\mathbb{P}(V).$

Il nome è legato al matematico tedesco Hermann Grassmann.

Esempi

Se $V$ è lo spazio euclideo ${ℝ}^n$ (ad esempio il piano cartesiano ${ℝ}^2$ oppure lo spazio tridimensionale ${ℝ}^3$) la grassmanniana è l'insieme dei sottospazi di dimensione $k$ dello spazio.

Ad esempio,

${\mathrm{Gr}}_1({ℝ}^2)$

è l'insieme di tutte le rette nel piano passanti per l'origine, mentre

${\mathrm{Gr}}_1({ℝ}^3)$

è l'insieme di tutte le rette nello spazio passanti per l'origine. Inoltre

${\mathrm{Gr}}_2({ℝ}^3)$

è l'insieme di tutti i piani nello spazio passanti per l'origine. Poiché ogni piano è ortogonale nello spazio ad un'unica retta (sempre passante per $O$), c'è una naturale funzione biunivoca

$f:{\mathrm{Gr}}_1({ℝ}^3)\to {\mathrm{Gr}}_2({ℝ}^3)$

tra le due grassmanniane.

La grassmanniana più semplice che non sia isomorfa ad uno spazio proiettivo è l'insieme dei piani in uno spazio quadridimensionale:

${\mathrm{Gr}}_2({ℝ}^4).$

Proprietà

Dimensioni

Se $V$ è uno spazio di dimensione $n$ finita su cui è definito un prodotto scalare non degenere, è possibile associare ad ogni sottospazio $k$-dimensionale $W$ il suo ortogonale $W^{\perp }$, avente dimensione $n-k$. In questo modo il prodotto scalare definisce un isomorfismo fra le grassmanniane di dimensione complementare:

${\mathrm{Gr}}_k(V)\cong {\mathrm{Gr}}_{n-k}(V).$

L'isomorfismo dipende dal prodotto scalare scelto.

Spazio proiettivo

La grassmanniana rappresenta i sottospazi vettoriali di dimensione $k$ di $V$. Poiché tali sottospazi sono in naturale corrispondenza biunivoca con i sottospazi proiettivi $(k-1)$-dimensionali di $\mathbb{P}(V)$, la grassmanniana rappresenta anche i sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La grassmanniana non rappresenta però i sottospazi affini.

Spazio omogeneo

La grassmanniana può essere definita nel modo seguente con gli strumenti dell'algebra. Il gruppo generale lineare $GL(V)$ agisce sui $k$-sottospazi vettoriali di $V$ in modo transitivo. Sia $H$ lo stabilizzatore di un sottospazio (è un sottogruppo di $GL(V)$). Si può quindi scrivere

${\mathrm{Gr}}_k=\mathrm{GL}(V)/H.$

Con questa definizione la grassmanniana risulta essere dotata automaticamente di alcune strutture aggiuntive. Se lo spazio vettoriale è reale o complesso, il gruppo $GL(V)$ è un gruppo di Lie e la grassmanniana è conseguentemente una varietà differenziabile. In particolare, è uno spazio topologico: la topologia concretizza le nozioni di "vicinanza" e "lontananza" fra sottopazi e di "movimento continuo" di sottospazi.

Dalla definizione segue anche che la grassmanniana è uno spazio omogeneo: i suoi punti (cioè i sottospazi) sono moralmente indistinguibili.

Spazio compatto

La compattezza della grassmanniana è un fenomeno caratteristico della geometria degli spazi vettoriali e proiettivi. Non è presente in geometria affine, dove è possibile trovare una successione di piani paralleli sempre più lontani (e quindi non convergenti).

Nel caso in cui $V$ sia reale o complesso, la grassmanniana è uno spazio topologico. Se $V$ ha dimensione finita, la grassmanniana risulta essere uno spazio compatto.

Effettivamente, dopo aver scelto un prodotto scalare per $V$ è possibile sostituire il gruppo generale lineare $GL(V)$ con il gruppo ortogonale $O(V)$, che è compatto. La grassmanniana risulta quindi compatta perché quoziente di un compatto. Nel caso complesso, si sceglie analogamente un prodotto hermitiano e si usa il gruppo unitario.

La compattezza testimonia il fatto seguente: una successione di $k$-sottospazi contiene sempre una sottosuccessione di elementi che convergono ad un preciso sottospazio. Questo fatto è quindi valido sia per i sottospazi vettoriali che per quelli proiettivi. Non è però vera nel caso affine a causa del parallelismo: una successione di piani paralleli sempre più lontani non ha nessuna sottosuccessione convergente.

Voci correlate

• Spazio proiettivo

Collegamenti esterni

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