Equazione algebrica

In matematica si chiamano equazioni algebriche o polinomiali quelle equazioni equivalenti (o riconducibili tramite opportune trasformazioni) ad un polinomio uguagliato a zero. Il grado di tale polinomio è anche il grado dell'equazione.

Descrizione

Un'equazione polinomiale di grado $n$ in una incognita si può esprimere nella forma:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0=0,$

dove gli $a_i$ sono numeri reali (o in generale complessi) e $x$ è l'incognita da determinare. Il tipo più semplice di equazioni algebriche sono le equazioni lineari, cioè di primo grado.

In virtù del teorema fondamentale dell'algebra ogni equazione di grado $n$ ammette esattamente $n$ soluzioni nel campo complesso.

Il criterio di Cartesio stabilisce il numero massimo di soluzioni nel campo reale per un'equazione di grado $n$: il massimo numero di soluzioni reali positive è dato dal numero di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_{n-1},a_n$, trascurando eventuali coefficienti nulli.

Le equazioni di secondo grado sono chiamate quadratiche; seguono le cubiche e le quartiche. Per il teorema di Abel-Ruffini le equazioni di grado superiore al quarto non sono generalmente risolvibili per radicali.

Tra le equazioni particolari di grado superiore al terzo, si ricordano:

• equazioni binomie ($a{x}^n+b=0$),
• equazioni biquadratiche ($a{x}^4+b{x}^2+c=0$),
• equazioni trinomie ($a{x}^{2n}+b{x}^n+c=0$),
• equazioni reciproche (in cui, se un numero è soluzione, lo è anche il suo reciproco).

Voci correlate

• Equazione parametrica
• Equazione fratta
• Equazione irrazionale
• Disequazione algebrica

Collegamenti esterni

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