Equazione trinomia

Le equazioni trinomie sono quelle riconducibili alla forma:

$a{x}^{2n}+b{x}^n+c=0,$

dove $n$ è un intero positivo, $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali (oppure complessi) e $a\ne 0$.

Descrizione

Parametrizzando come segue:

$x^n=y,$

si può riscrivere l'equazione in termini di $y$:

$a{y}^2+by+c=0.$

Risolvendo quest'equazione quadratica (detta equazione risolvente o ausiliaria) e sostituendo nella relazione precedente è possibile trovare facilmente le soluzioni cercate.

1. Caso in cui $n$ è pari.

• Se la risolvente ammette due soluzioni positive distinte $y_1$ e $y_2,$ allora l'equazione trinomia ammette le quattro soluzioni reali $\pm \sqrt[n]{y_1}$ e $\pm \sqrt[n]{y_2}$ (che si riducono a tre se una soluzione della risolvente è nulla).

• Se la risolvente ammette due soluzioni discordi, l'equazione trinomia ammette due soluzioni reali, corrispondenti alle due radici n-esime reali della soluzione positiva.

• Se la risolvente ammette una soluzione reale $y_1,$ allora la trinomia ammette due soluzioni se $y_1>0,$ una se $y_1=0,$ nessuna se $y_1<0.$

• Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.

2. Caso in cui $n$ è dispari.

• Se la risolvente ammette due soluzioni distinte $y_1$ e $y_2,$ allora l'equazione trinomia ammette le due soluzioni reali $\sqrt[n]{y_1}$ e $\sqrt[n]{y_2}$.

• Se la risolvente ammette una soluzione reale $y_1,$ allora la trinomia ammette la soluzione $\sqrt[n]{y_1}.$

• Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.

Soluzioni complesse

Nel campo dei numeri complessi se $z_1$ e $z_2$ sono le due soluzioni della risolvente, allora le $2n$ soluzioni sono date da:

$\sqrt[n]{z_1}{e}^{\frac{2\pi k}{n}},\text{con }k=0,1,\dots ,n-1,$

$\sqrt[n]{z_2}{e}^{\frac{2\pi k}{n}},\text{con }k=0,1,\dots ,n-1.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazione algebrica
• Equazione biquadratica
• Equazione binomia