Equazione fratta

Un'equazione si definisce frazionaria (o fratta) se è composta da almeno una frazione algebrica o, più semplicemente, se l'incognita $x$ compare a denominatore. Un'equazione frazionaria univariata è della forma:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=0,$

dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi generici, in questo caso, nella variabile $x.$

Grado

Il grado di ogni polinomio che si trova al denominatore della frazione algebrica deve essere sempre maggiore di zero, altrimenti l'equazione si trasformerebbe in un'equazione intera. A esempio, data l'equazione:

$\frac{1}{4x-2}=0,$

il grado del denominatore è $1.$

Risoluzione

La procedura risolutiva è la seguente:

• si riducono i denominatori dell'equazione a fattori irriducibili (o, come si suol dire, "ai minimi termini") mediante fattorizzazione, utilizzando i prodotti notevoli e i raccoglimenti;
• si trovano le condizioni di esistenza dell'equazione, imponendo che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero;
• si effettuano passaggi algebrici affinché si possa avere una o più equazioni equivalenti a quella di partenza (cioè equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni);
• si riduce il tutto a una semplice equazione intera;
• si cerca la soluzione.

Campo di esistenza

Il campo di esistenza è l'insieme dei valori dell'incognita (o incognite) per i quali la frazione non perde significato. A esempio, se in $\frac{1}{x-1}=0$ il valore di $x$ fosse $1,$ allora si avrebbe come denominatore $0$ e la frazione non avrebbe significato. È quindi necessario porre come campo di esistenza $x\ne 1.$

Esempio

Data l'equazione fratta:

$\frac{6}{x^2-9}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2},$

notare anzitutto che dovrà essere $x\ne \pm 3.$ Moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo $2(x^2-9),$ si ottiene così l'equazione di secondo grado:

$12+2(x-3)=(x^2-9)\Rightarrow x^2-2x-15=0,$

che ha le due soluzioni $x=5$ e $x=-3.$ La seconda soluzione, però, annulla i due denominatori dell'equazione originale, e pertanto deve essere scartata. Quindi l'unica soluzione dell'equazione originale è $x=5.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Disequazione fratta
• Equazione
• Insieme di definizione