Serie convergente

In matematica, una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione $a_i$, la serie $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ è convergente se la successione delle somme parziali

$S_n=\sum _{i=0}^n{a}_i,$

ha un limite finito, cioè se esiste finito $S$ tale che per ogni $\epsilon >0$ esiste $N$ tale che per ogni $n>N$

$|S_n-S|<\epsilon .$

Il numero $S$ è detto somma della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente non è necessariamente detta divergente, ad esempio la serie $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i$ non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori $0$ e $1$ e quindi non ammette limite.

Esempi

• Un esempio tipico di serie convergente è la serie geometrica di parametro $q<1$: ad esempio

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^i}=2,$

• Anche la somma dei reciproci dei quadrati converge (trovare il suo limite è stato il famoso problema di Basilea):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}=\frac{{\pi }^2}{6},$

• Mediante lo sviluppo in serie di Taylor è possibile mostrare che

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i\frac{1}{2i+1}=\frac{\pi }{4},$

• Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei numeri primi (dimostrazione):

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{p},$

dove $\mathbb{P}$ indica l'insieme dei numeri primi.

Assoluta convergenza

Una serie è detta assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti, cioè se la serie

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}|a_i|,$

converge.

Si dimostra facilmente che una serie assolutamente convergente è convergente: infatti, se si definiscono due nuove successioni

$b_i=\{\begin{array}{c}{a}_i\mathrm{s}\mathrm{e}{a}_i>0\\ 0\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\end{array}$

$c_i=\{\begin{array}{c}-a_i\mathrm{s}\mathrm{e}{a}_i<0\\ 0\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\end{array}$

risulta evidente che le loro serie $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_i$ e $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_i$ sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di $|a_i|$. Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché $a_i=b_i-c_i$

Il viceversa non è vero: la serie

• $-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i\frac{1}{i},$

converge a $-\ln 2$, ma la serie dei valori assoluti

• $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i},$

è la serie armonica, che diverge.

Criteri di convergenza

Template:Vedi anche Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se $S_n>S_{n-1}$ per ogni $n$ sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.

Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il criterio del confronto: se $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ e $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_i$ sono due serie a termini positivi tali che $b_i>a_i$ per ogni $n$ sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.

Altri criteri molto usati sono il criterio del rapporto e il criterio della radice: nel primo si studia il comportamento della quantità $\frac{a_{i+1}}{a_i}$, mentre nel secondo della quantità $\sqrt[i]{a_i}$ al tendere di $i$ a $+\mathrm{\infty }$. In entrambi i casi, se questo limite è minore di $1$ la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è uguale a $1$ il criterio fallisce e non dà informazioni sul comportamento della serie.

Per serie a termini di segno alterno è disponibile il criterio di Leibniz, il quale afferma che se $a_i$ è decrescente e tende a $0$, allora la serie $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{a}_i$ converge.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill, 1994.
• Michael Spivak, Calculus. Houston, Publish or Perish, 1994. ISBN 0914098896.

Voci correlate

• Serie (matematica)
• Criterio del rapporto
• Criterio della radice
• Teorema di Riemann-Dini