Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi

Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{p\le x}\frac{1}{p}=\mathrm{\infty },$

dove la variabile $p$ indica un numero primo.

Dimostrazione (Eulero)

Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.

Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che

${(1+\frac{1}{n})}^n<e,$

per ogni $n$ intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene

$n\ln (1+\frac{1}{n})<1,$

da cui

$\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$

e infine

$\ln (n+1)-\ln \left(n\right)<\frac{1}{n}.$

Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a $n$ si ricava

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}>\sum _{k=1}^n(\ln (k+1)-\ln \left(k\right))=\ln (n+1).$

Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.

Adesso definiamo il prodotto $P$ come

$P\left(x\right)=\prod _{p\le x}{(1-\frac{1}{p})}^{-1}.$

Sapendo che

${(1-\frac{1}{p})}^{-1}=1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\dots$

si ricava

$P\left(x\right)=\sum _{n\in A\left(x\right)}\frac{1}{n},$

dove l'insieme $A$ è definito come

$A\left(x\right)=\{n:p|n⟹p\le x\}.$

Evidentemente se $n\le x$ allora $n\in A\left(x\right)$ quindi

$P\left(x\right)>\sum _{n\le x}\frac{1}{n}$

e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava

$P\left(x\right)>\ln (x+1).$

Adesso sapendo che $y>-\frac{1}{2}\ln (1-y)$ per ogni $0<y<\frac{1}{2}$ si ottiene

$\sum _{p\le x}\frac{1}{p}>-\frac{1}{2}\sum _{p\le x}\ln (1-\frac{1}{p})=\frac{1}{2}\ln P\left(x\right)>\frac{1}{2}\ln \ln x,$

dove l'ultimo membro diverge per $x$ tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.

Seconda dimostrazione (Eulero)

Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:

$S=\ln \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\right)=\ln \left(\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum _p\ln \left(\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum _p-\ln (1-\frac{1}{p}),$

usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di $\ln (1-x)$:

$S=\sum _p(\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\cdots )=\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\sum _p\frac{1}{p^2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{4p^2}+\cdots ).$

I termini $\frac{1}{3p},$ $\frac{1}{4p^2},$ ecc., possono essere maggiorati come:

$S<\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\sum _p\frac{1}{p^2}(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots )=\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\left(\sum _p\frac{1}{p(p-1)}\right).$

Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi

$S<\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+C.$

Poiché la somma $S$ cresce come $\ln \ln n$ per $n$ tendente all'infinito, Eulero concluse che

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots +\frac{1}{p_n}\approx \ln \ln n.$

Terza dimostrazione (Erdős)

La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.

Per assurdo sia $\sum _p\frac{1}{p}<\mathrm{\infty }$ allora esiste un numero primo $P$ tale che $\sum _{p>P}\frac{1}{p}<1/2$.

Sia $N>P$ un intero arbitrario, indichiamo con $N_1$ il numero di interi minori o uguali a $N$ che hanno solo fattori primi minori o uguali a $P$, indichiamo anche $N_2=N-N_1$. Abbiamo che

$N_2\le \sum _{p\ge P}\lfloor \frac{N}{p}\rfloor <\sum _{p\ge P}\frac{N}{p}<\frac{N}{2}.$

Ora stimiamo $N_1$, scriviamo $k=\pi (P)$, ogni $x\le N$ si può scrivere nella forma

$x=y{z}^2,$

dove $y$ è privo di quadrati e $z\le \sqrt{N}$, se $x$ è divisibile solo per i primi minori o uguali a $P$, allora lo è anche $y$. Ci sono meno di $2^k$ possibili scelte per $y$ e meno di $\sqrt{N}$ scelte per $z$, da cui

$N_1\le 2^k\sqrt{N}$

e quindi

$N<2^k\sqrt{N}+\frac{N}{2}$

si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha $p_n\le 2^n$ e di conseguenza $\pi (n)\ge \frac{\ln n}{\ln 2}$, quindi possiamo scegliere $N=2^{2k+2}>P$ e troviamo

$N<2^k(2^{k+1})+2^{2k+1}=N$

che è assurdo e conclude la dimostrazione.

Quarta dimostrazione (Clarkson)

Come nella dimostrazione precedente, notiamo che se la serie dei reciproci dei primi convergesse, allora esisterebbe $k$ tale che $\sum _{m=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_m}<\frac{1}{2}$, dove con $p_m$ indichiamo il $m$-esimo numero primo. Consideriamo ora il numero $Q=p_1{p}_2\cdots p_k$: si osserva immediatamente come $1+nQ$ per $n=1,2,\dots$ non sia divisibile dai primi $p_1,p_2,\dots ,p_k$. Dunque, la decomposizione in fattori primi di $1+nQ$ richiede i primi successivi a questi, ossia $p_{k+1},p_{k+2},\dots$. Se ne deduce quindi che

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+nQ}<\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\sum _{m=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_m}\right)}^t$

poiché ogni termine della sommatoria a sinistra si può trovare sviluppando sufficientemente la doppia sommatoria a destra. Per la disuguaglianza ottenuta dall'ipotesi iniziale, segue però che

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+nQ}<\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^t$

e la serie a destra, geometrica di ragione $\frac{1}{2}$, converge a 1, quindi per il criterio del confronto anche la serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+nQ}$ converge. Ciò è una contraddizione, poiché è immediato verificare come questa serie in realtà diverga: per il criterio di confronto tra serie e integrale, la nostra serie converge se e solo se converge il seguente integrale, $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+Qx}dx$, che però diverge, poiché

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+Qx}dx=\underset{c\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{Q}{[\ln (1+Qx)]}_1^c=+\mathrm{\infty }.$

Quindi, come volevasi dimostrare, la serie dei reciproci dei primi diverge.

Voci correlate

• Serie armonica
• Teoremi di Mertens
• Teorema dei numeri primi