Teorema di Riemann-Dini

In matematica, il teorema di Riemann-Dini è un teorema sulle serie a valori reali semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei matematici Bernhard Riemann e Ulisse Dini.

Il teorema afferma che se una serie è (semplicemente) convergente, ma non assolutamente convergente, allora, dato un qualsiasi numero reale, esiste una permutazione dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre, esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a $+\mathrm{\infty }$ e a $-\mathrm{\infty }$.

Enunciato

Sia ${\left\{u_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

$\sum _{k=0}^n{u}_k\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\ell \in ℝ,$

ma non assolutamente convergente,

$\sum _{k=0}^n|u_k|\underset{n⟶+\mathrm{\infty }}{⟶}+\mathrm{\infty }.$

Sia inoltre $\alpha \in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$. Allora esiste una permutazione

$\sigma :\mathbb{N}⟶\mathbb{N}$

tale che

$\sum _{k=0}^n{u}_{\sigma (k)}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\alpha .$

Dimostrazione

Lemma

Per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ponga

$\begin{array}{cc}{a}_n:=& \max \{u_n,0\},\\ b_n:=& \min \{0,u_n\}.\end{array}$

(queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi).

Allora

$\sum _{k=0}^n{a}_k\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}+\mathrm{\infty }\text{e}\sum _{k=0}^n{b}_k\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}-\mathrm{\infty }.$

Infatti, dato che la serie $\sum u_n$ converge e che

$\begin{array}{cc}{u}_n& =a_n+b_n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\\ |u_n|& =a_n-b_n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\end{array}$

allora le serie $\sum a_n$ e $\sum b_n$ o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche $\sum (a_n-b_n)=\sum |u_n|$ dovrebbe convergere, il che è assurdo. Inoltre, poiché per ogni $n\in \mathbb{N}$ $a_n\ge 0$ e $b_n\le 0$, allora le due serie associate a tali successioni devono divergere rispettivamente a $+\mathrm{\infty }$ e $-\mathrm{\infty }$.

Dimostrazione del teorema

Per semplicità si supponga che $\alpha \in ℝ$, il caso $\alpha =\pm \mathrm{\infty }$ è analogo.

Costruzione della permutazione

Una possibile costruzione della permutazione σ di $\mathbb{N}$ procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore $\alpha$ e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad $\alpha$ (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma). Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione σ si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura.

Convergenza

Dato che la serie $\sum u_n$ è convergente allora per ogni $\epsilon >0$ esiste $N_0\in \mathbb{N}$ tale che

$|u_n|<\epsilon \mathrm{\forall }n\ge N_0.$

Di conseguenza, prendendo $N_1=1+\max \{{\sigma }^{-1}(0),{\sigma }^{-1}(1),\dots ,{\sigma }^{-1}(N_0)\}$, si ha che

$|u_{\sigma (n)}|<\epsilon \mathrm{\forall }n\ge N_1$

(infatti certamente σ(n) > N₀). Sia ora $N_2$ il più piccolo intero maggiore di $N_1$ tale che $u_{\sigma (N_2)}$ e $u_{\sigma (N_2+1)}$ siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione σ , si ha che

$|\alpha -\sum _{k=0}^{N_2}{u}_{\sigma (k)}|\le |u_{\sigma (N_2)}|\le \epsilon .$

Si definisca ora, per $n\ge 2$, la proposizione

$𝒫(n):|\alpha -\sum _{k=0}^n{u}_{\sigma (k)}|\le \epsilon .$

È chiaro che $𝒫(N_2)$ è verificata. Si supponga ora che sia vera per $n\ge N_2$. Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.

Primo caso

Se

$0<\alpha -\sum _{k=0}^n{u}_{\sigma (k)}\le \epsilon ;$

allora

$0\le u_{\sigma (n+1)}\le \epsilon$

e dunque

$|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}{u}_{\sigma (k)}|\le \epsilon .$

Secondo caso

Se

$-\epsilon \le \alpha -\sum _{k=0}^n{u}_{\sigma (k)}\le 0;$

allora

$-\epsilon \le u_{\sigma (n+1)}<0$

perciò

$|\alpha -\sum _{k=0}^{n+1}{u}_{\sigma (k)}|\le \epsilon .$

Per il principio d'induzione, risulta dimostrato che

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{N}_2\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n\ge N_2⟹|\alpha -\sum _{k=0}^n{u}_{\sigma (k)}|\le \epsilon ;$

e dunque la serie converge ad $\alpha$.

Esempio

Si prenda in esame la serie armonica a segni alterni, denotando con $u_n$ il suo termine n-esimo,

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},u_n:=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}.$

La serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente in quanto la serie armonica diverge positivamente.

È noto che:

$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots =\log (2).$

(si veda la dimostrazione fatta nella voce serie armonica a segni alterni ).

Riordinando la successione nel modo seguente,

$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots ,$

ossia scomponendo la serie in blocchi da tre della forma:

$\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{4k}.$

Sommando i primi due termini si ha

$\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2(2k-1)}=\frac{1}{2(2k-1)},$

pertanto la successione delle somme parziali può essere riscritta come:

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}\cdots$

che raccogliendo il fattore 1/2 non è altro che

$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots )=\frac{1}{2}\log 2,$

ossia la metà del valore della serie armonica a segni alterni.

Teoremi derivati

Teorema di Sierpiński

Nel teorema di Riemann, la permutazione usata per riarrangiare una serie semplicemente convergente per ottenere un certo $𝐑\cup \{\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$ potrebbe avere un numero arbitrario di punti non fissi, cioè tutti gli indici dei termini della serie potrebbero essere permutati. Ci si potrebbe chiedere se è possibile riarrangiare solo gli indici in un insieme più piccolo in modo che la serie converga a un arbitrario numero reale o diverga a $\pm \mathrm{\infty }$. La risposta a questa domanda è positiva: Sierpiński dimostrò che permutando solo i termini positivi e lasciando fissi quelli minori o uguali a zero è possibile ottenere una serie convergente a qualunque assegnato valore minore o uguale a quello della serie originale.

Questa domanda è stata inoltre esplorata usando il concetto di ideale: per esempio, Wilczyński provò che è sufficiente riarrangiare solo gli indici nell'ideale degli insiemi di densità asintotica zero. Filipów e Szuca dimostrarono che anche altri ideali hanno questa proprietà.

Teorema di Steinitz

Data una serie convergente $\sum a_n$ di numeri complessi, parecchi casi possono accadere quando si considera l'insieme delle possibili somme per tutte le serie $\sum a_{\sigma (n)}$ ottenute permutando i suoi termini:

• la serie $\sum a_n$ potrebbe convergere assolutamente; allora tutte le serie riarrangiate convergono e inoltre allo stesso valore: l'insieme delle somme delle serie permutate si riduce ad un punto.
• la serie $\sum a_n$ potrebbe non convergere assolutamente; se $S$ denota l'insieme delle somme $\sum a_{\sigma (n)}$ che convergono, allora o $S$ è una retta $L$ nel piano complesso $ℂ$, della forma

$L=\{a+tb:t\in ℝ\},a,b\in ℂ,b\ne 0,$

oppure è l'intero piano complesso $ℂ$.

Più in generale, data una serie convergente di vettori in uno spazio vettoriale $E$ su $ℝ$ di dimensione finita, l'insieme delle somme delle serie permutate convergenti è uno sottospazio affine di $E$.

Enunciato più generale

Si dimostra che il teorema può essere enunciato, in modo più potente, nella seguente forma:

Sia ${\left\{u_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

$\sum _{k=0}^n{u}_k\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{⟶}\ell \in ℝ,$

ma non assolutamente convergente,

$\sum _{k=0}^n|u_k|\underset{n⟶+\mathrm{\infty }}{⟶}+\mathrm{\infty }.$

Siano inoltre $\alpha ,\beta \in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ con $\alpha \le \beta$. Allora esiste una permutazione

$\sigma :\mathbb{N}⟶\mathbb{N}$

tale che

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sum _{k=0}^n{u}_{\sigma (n)}=\alpha$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sum _{k=0}^n{u}_{\sigma (n)}=\beta$.

Data la definizione di limiti inferiore e superiore, questo enunciato si riduce al precedente nel caso si scelga α = β.

Scegliendo invece α ≠ β si ha un risultato non previsto dall'enunciato precedente, ovvero che il riarrangiamento della serie sia oscillante fra α e β.

Voci correlate

• Serie (matematica)
• Criteri di convergenza

Collegamenti esterni

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