Potenziali ritardati

In elettrodinamica, i potenziali ritardati descrivono i potenziali generalizzati del campo elettromagnetico in un sistema la cui distribuzione di carica e corrente sorgente del campo sia variabile nel tempo. Si tratta delle espressioni del potenziale elettrico e magnetico introdotte nel caso in cui non sia possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'interazione elettromagnetica sia istantanea, ad esempio quando si considerano cariche che si muovono a velocità non trascurabili se confrontate con la velocità di propagazione della luce.

Definizione

Ponendo di trovarsi nel vuoto, nel gauge di Lorenz i potenziali ritardati assumono la forma:

$\psi (𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({𝐱}_0,t_r)}{|𝐱-{𝐱}_0|}{d}^3{x}_0$

$𝐀(𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\int \frac{𝐉({𝐱}_0,t_r)}{|𝐱-{𝐱}_0|}{d}^3{x}_0$

dove $\rho$ è la densità di carica, $𝐉$ è la densità di corrente, $|𝐱-{𝐱}_0|$ la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume $dV$ su cui si effettua l'integrazione e:

$t_r=t-\frac{|𝐱-{𝐱}_0|}{c}$

è il tempo ritardato.

I potenziali ritardati sono la soluzione dell'equazione delle onde per i potenziali:

${\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝐉$

Una volta determinati i potenziali $\psi$ e $𝐀$ dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le formule:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\psi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

e questo consente di scrivere l'equazione delle onde per i campi nel vuoto:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}=-\frac{1}{{\epsilon }_0}(-\mathrm{\nabla }\rho -\frac{1}{c^2}\frac{\partial 𝐉}{\partial t})$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐁-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}=-{\mu }_0\mathrm{\nabla }\times 𝐉$

la cui soluzione al tempo ritardato fornisce l'espressione preliminare per i campi:

$𝐄(𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{1}{|𝐱-{𝐱}_0|}{[-{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\rho -\frac{1}{c^2}\frac{\partial 𝐉}{\partial t}]}_{t=t_r}{d}^3{x}^{\prime }$

$𝐁(𝐱,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{1}{|𝐱-{𝐱}_0|}{[{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐉]}_{t=t_r}{d}^3{x}^{\prime }$

La scrittura esplicita dei campi è fornita dalle equazioni di Jefimenko.

Derivazione

Template:Vedi anche Si vogliono trovare le soluzioni generali dell'equazione delle onde per i potenziali mostrata in precedenza, considerando l'equazione per una sorgente puntiforme posta in ${𝐱}_0$:

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi (𝐱,t)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi (𝐱,t)=-S({𝐱}_0,t)\delta (𝐱-{𝐱}_0)$

Grazie alla definizione della delta di Dirac $\delta$ è dunque possibile descrivere la presenza di una sorgente puntiforme: nel resto dello spazio non vi sono sorgenti, e l'equazione d'onda è non omogenea solo per $𝐱={𝐱}_0$. Scrivendo il laplaciano in coordinate sferiche l'equazione omogenea diventa:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \varphi }{\partial r}\right)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0$

e se si effettua la sostituzione:

$\varphi (r,t)=\frac{\chi (r,t)}{r}$

si ha:

$\frac{{\partial }^2\chi }{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\chi }{\partial t^2}=0$

la cui soluzione è quella dell'equazione delle onde omogenea:

$\chi (r,t)=f(t-\frac{r}{c})+g(t+\frac{r}{c})$

da cui

$\varphi (r,t)=\frac{f(t-\frac{r}{c})}{r}+\frac{g(t+\frac{r}{c})}{r}$

dove $f$ e $g$ sono due funzioni da dover determinare. Imponendo che le onde siano uscenti dalla sorgente si deve escludere il termine

$g(t+\frac{r}{c}).$

Questa condizione è dettata dal principio di causalità, e dal fatto che non ha senso parlare di onde che dall'infinito arrivano verso la sorgente. Si ha quindi:

$\varphi (r,t)=\frac{f(t-\frac{r}{c})}{r}$

da cui:

$\mathrm{\nabla }\varphi =-\frac{f(t-\frac{r}{c})}{r^2}\widehat{𝐫}-\frac{1}{c}\frac{f^{\prime }(t-\frac{r}{c})}{r}\widehat{𝐫}$

dove $f^{\prime }$ è la derivata di $f$ rispetto al suo argomento. Integrando ora l'equazione d'onda su un volume sferico di raggio $R$ centrato in ${𝐱}_0$ e sostituendo le espressioni trovate sopra per $\varphi$ e $\mathrm{\nabla }\varphi$ si ha:

$\int \mathrm{\nabla }\cdot [-\frac{f}{r^2}\widehat{𝐫}-\frac{1}{c}\frac{f^{\prime }}{r}\widehat{𝐫}]d^{3}x-\frac{1}{c^2}\int \frac{f^{″}}{r}{d}^{3}x=-\int S({𝐱}_0,t)\delta (𝐱-{𝐱}_0)d^{3}x$

e considerando il limite per $R\to 0$ il secondo integrale si annulla poiché è minore del massimo dell'integranda sul dominio d'integrazione, moltiplicato la misura del dominio d'integrazione. Sfruttando il teorema della divergenza si calcola quindi il valore del primo integrale:

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot [-\frac{f}{r^2}\widehat{𝐫}-\frac{1}{c}\frac{f^{\prime }}{r}\widehat{𝐫}]d^{3}x=\underset{S}{\int }[-\frac{f}{r^2}-\frac{1}{c}\frac{f^{\prime }}{r}]\widehat{𝐫}\cdot d{𝐒}^{\prime }=4\pi R^2[-\frac{f}{R^2}-\frac{1}{c}\frac{f^{\prime }}{R}]$

dove $V$ è il volume della sfera di raggio $R$ ed $S$ la superficie della sfera stessa. Effettuando il limite per $R\to 0$ si nota che il secondo termine in parentesi si annulla. Considerando quindi l'equazione d'onda integrata, si ottiene la relazione:

$-4\pi f(t)=-S({𝐱}_0,t)$

da cui:

$f(t)=\frac{S({𝐱}_0,t)}{4\pi }$

e sfruttando la relazione:

$\varphi (r,t)=\frac{f(t-\frac{r}{c})}{r}$

si ottiene infine la soluzione generale dell'equazione d'onda di partenza, valida per sorgenti puntiformi:

$\varphi (r,t)=\frac{S({𝐱}_0,t-\frac{r}{c})}{4\pi r}$

Per considerare il caso generale di sorgente non puntiforme, è sufficiente integrare su ${𝐱}_0$ la soluzione di cui sopra, ottenendo la soluzione valida per qualunque sorgente:

$\varphi (𝐱,t{)}_g=\int \frac{S({𝐱}_0,t-\frac{|𝐱-{𝐱}_0|}{c})}{4\pi |𝐱-{𝐱}_0|}{d}^3{x}_0$

Risulta allora sufficiente sostituire rispettivamente a ${\varphi }_g$ e a $S$ i potenziali vettore e scalare e le rispettive sorgenti per ottenere le soluzioni generali delle equazioni d'onde per i potenziali:

$𝐀(𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\int \frac{𝐉({𝐱}_0,t-\frac{|𝐱-{𝐱}_0|}{c})}{|𝐱-{𝐱}_0|}{d}^3{x}_0$

$\psi (𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({𝐱}_0,t-\frac{|𝐱-{𝐱}_0|}{c})}{|𝐱-{𝐱}_0|}{d}^3{x}_0$

ovvero le espressioni cercate.

L'equazione delle onde ed il gauge di Lorenz

Template:Vedi anche Sostituendo la definizione del potenziale vettore $𝐀$ nella seconda equazione di Maxwell si ottiene:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

da cui:

$\mathrm{\nabla }\times (𝐄+\frac{\partial }{\partial t}𝐀)=0$

Poiché la quantità tra parentesi ha rotore nullo, può essere espressa come gradiente di un campo scalare, ed in particolare del potenziale scalare $\psi$:

$\mathrm{\nabla }\psi =-(𝐄+\frac{\partial 𝐀}{\partial t})$

ovvero:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\psi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

Usando ora la relazione:

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐅$

dove con $𝐅$ si è indicata una generica grandezza vettoriale, e sostituendo nelle due equazioni di Maxwell:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁-\frac{1}{c^2}\frac{\partial 𝐄}{\partial t}=\frac{𝐉}{{\epsilon }_0{c}^2}$

si ottengono le seguenti relazioni:

${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\psi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-\frac{𝐉}{{\epsilon }_0{c}^2}$

dette equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate.

Per semplificare queste equazioni è conveniente ricorrere ad una particolare trasformazione di gauge. Ricordando che il potenziale vettore $𝐀$ è definito a meno di un gradiente, è possibile aggiungere il gradiente di una quantità scalare $\varphi$ facendo rimanere invariato il campo magnetico:

${𝐀}^{\prime }=𝐀+\mathrm{\nabla }\varphi$

ed affinché anche il campo elettrico rimanga invariato deve inoltre valere:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }{\psi }^{\prime }-\frac{\partial {𝐀}^{\prime }}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }{\psi }^{\prime }-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\varphi =-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}-(\mathrm{\nabla }{\psi }^{\prime }+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\varphi )$

da cui, sfruttando la relazione esistente tra $𝐄$, $\psi$ e $𝐀$ si ottiene:

$\mathrm{\nabla }\psi =\mathrm{\nabla }{\psi }^{\prime }+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\varphi$

che si traduce in:

${\psi }^{\prime }=\psi -\frac{\partial \varphi }{\partial t}$

Sfruttando l'invarianza di gauge è possibile scegliere $𝐀$ in modo che soddisfi determinate condizioni. In elettrodinamica è frequente la scelta della condizione di Lorenz, la quale è ottenuta scegliendo opportunamente $\varphi$ in modo tale che:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \psi }{\partial t}$

Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz.
Sostituendo nelle due equazioni per i potenziali ricavate in precedenza si ottengono le equazioni di Maxwell per i potenziali:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-\frac{𝐉}{{\epsilon }_0{c}^2}$

${\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

nelle quali si riconosce la forma delle equazioni d'onda.

Potenziali di Liénard-Wiechert

Template:Vedi anche La soluzione al tempo ritardato dell'equazione delle onde non omogenea per i potenziali del campo elettromagnetico è la seguente:

$\phi (𝐫,t)=\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime })d^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime }𝐀(𝐫,t)=\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}𝐉({𝐫}^{\prime },t^{\prime })d^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime }$

dove $\rho (𝐫,t)$ e $𝐉(𝐫,t)$ sono i termini sorgente, e:

$\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)$

è la delta di Dirac. Per una carica che si muove in ${𝐫}_0(t^{\prime })$ con velocità ${𝐯}_0(t^{\prime })$, le densità di carica e corrente assumono la forma:

$\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime })=q\delta ({𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime }))𝐉({𝐫}^{\prime },t^{\prime })=q{𝐯}_0(t^{\prime })\delta ({𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime }))$

Se si integra sul volume $d^3{r}^{\prime }$, utilizzando la relazione precedente si ottiene:

$\phi (𝐫,t)=q\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|{𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime })|}{c}-t)}{|{𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime })|}d{t}^{\prime }𝐀(𝐫,t)=q\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|{𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime })|}{c}-t)}{|{𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime })|}{𝐯}_0(t^{\prime })d{t}^{\prime }$

ed integrando in $t^{\prime }$ si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert:

$\phi (𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\left(\frac{e}{(1-𝐧\cdot \mathit{\beta })|𝐱-{𝐫}_0(\tau )|}\right)}_{\tau ={\tau }_0}𝐀(𝐱,t)=\frac{{\mu }_{0}c}{4\pi }{\left(\frac{e\mathit{\beta }}{(1-𝐧\cdot \mathit{\beta })|𝐱-{𝐫}_0(\tau )|}\right)}_{\tau ={\tau }_0}=\frac{\mathit{\beta }(\tau ={\tau }_0)}{c}\phi (𝐱,t)$

con:

$\mathit{\beta }(t)=\frac{{𝐯}_0(t)}{c}$

e $\tau$ il tempo proprio. Si tratta di una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico $\phi$ e del potenziale magnetico $𝐀$ generati da una sorgente puntiforme di carica in moto. I potenziali forniscono una caratterizzazione generale e relativistica del campo variabile nel tempo generato da una carica in moto, e la loro espressione è stata sviluppata in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert in un modo indipendente da quello di Liénard.

Bibliografia

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Voci correlate

• Campo elettromagnetico
• Densità di carica
• Densità di corrente
• Equazione delle onde
• Equazioni di Jefimenko
• Equazioni di Maxwell
• Gauge di Lorenz
• Interazione elettromagnetica
• Potenziale elettrico
• Potenziale magnetico
• Potenziale di Liénard-Wiechert
• Quadripotenziale