Equazioni di Jefimenko

In elettromagnetismo, le equazioni di Jefimenko descrivono il comportamento del campo elettrico e del campo magnetico in funzione di sorgenti arbitrarie dipendenti dal tempo. Le equazioni, dovute a Oleg D. Jefimenko, sono pertanto soluzione delle equazioni di Maxwell per una distribuzione assegnata di cariche e correnti al tempo ritardato, e permettono di generalizzare la legge di Coulomb e la legge di Biot-Savart.^[1]^[2]

Le equazioni

Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico ed il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica $ρ$ o corrente elettrica $𝐉$ dipendente dal tempo, ed hanno la seguente forma:^[3]

𝐄 (𝐫, t) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int [(\frac{ρ (𝐫^{'}, t_{r})}{| 𝐫 - 𝐫^{'} |^{3}} + \frac{1}{| 𝐫 - 𝐫^{'} |^{2} c} \frac{\partial ρ (𝐫^{'}, t_{r})}{\partial t}) (𝐫 - 𝐫^{'}) - \frac{1}{| 𝐫 - 𝐫^{'} | c^{2}} \frac{\partial 𝐉 (𝐫^{'}, t_{r})}{\partial t}] d^{3} 𝐫^{'}

𝐁 (𝐫, t) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int [\frac{𝐉 (𝐫^{'}, t_{r})}{| 𝐫 - 𝐫^{'} |^{3}} + \frac{1}{| 𝐫 - 𝐫^{'} |^{2} c} \frac{\partial 𝐉 (𝐫^{'}, t_{r})}{\partial t}] \times (𝐫 - 𝐫^{'}) d^{3} 𝐫^{'}

dove $𝐫^{'}$ è un punto all'interno della distribuzione di carica, $𝐫$ è un punto nello spazio e:

t_{r} = t - \frac{| 𝐫 - 𝐫^{'} |}{c}

è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia $𝐃$ e $𝐇$ hanno la stessa forma.^[4]

Template:Vedi anche Si possono derivare le equazioni di Jefimenko a partire dai potenziali ritardati $φ$ ed $𝐀$ ,^[5] che hanno la forma:

φ (𝐫, t) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int \frac{ρ (𝐫^{'}, t_{r})}{| 𝐫 - 𝐫^{'} |} d^{3} 𝐫^{'} 𝐀 (𝐫, t) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{𝐉 (𝐫^{'}, t_{r})}{| 𝐫 - 𝐫^{'} |} d^{3} 𝐫^{'}

I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell, e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:

𝐄 = - \nabla φ - \frac{\partial 𝐀}{\partial t} 𝐁 = \nabla \times 𝐀

ed utilizzando la relazione:

c^{2} = \frac{1}{ε_{0} μ_{0}}

si possono ottenere le equazioni di Jefimenko rimpiazzando $φ$ ed $𝐀$ con i campi $𝐄$ e $𝐁$ .

↑ Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Appleton-Century-Crofts (New-York - 1966). 2nd ed.: Electret Scientific (Star City - 1989), ISBN 978-0-917406-08-9.
↑ David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.
↑ Template:Cita.
↑ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media, American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902
↑ Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3