Funzione di ripartizione

In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Nel calcolo delle probabilità

Template:Vedi anche Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione, o funzione di probabilità cumulata, di una variabile casuale $X$ a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore $x$ la probabilità del seguente evento: "la variabile casuale $X$ assume valori minori o uguali ad $x$".

In altre parole, è la funzione $F:ℝ\to [0,1]$ con dominio la retta reale e immagine nell'intervallo $[0,1]$ definita da

$F(x)=P(X\le x).$

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e

$F(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se $X$ è una variabile casuale discreta e $z$ un punto del suo supporto, allora $F$ è una funzione a gradino e dunque

$\underset{x\to z^{-}}{\lim }F(x)=\underset{x\to z^{-}}{\lim }\sum _{i=1}^{n}p(x_i)=\sum _{i=1}^{n}p(x_i)$

(ponendo senza restrizioni di generalità $x_1<x_2<\dots <x_n<x<z$) poiché è una costante indipendente da $x$, mentre

$F(z)=\sum _{i=1}^{n}p(x_i)+p(z)$

dunque essendo $p(z)\ne 0$ si ha che $F$ non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile $A$ associa la probabilità che $X$ cada in $A$.

Proprietà

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione $F(x^{-}):=\underset{t\to x^{-}}{\lim }F(t)$:

• $\mathrm{P}(X<x)=F(x^{-})$
• $\mathrm{P}(a<X\le b)=F(b)-F(a)$
• $\mathrm{P}(a\le X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})$
• $\mathrm{P}(a\le X\le b)=F(b)-F(a^{-})$
• $\mathrm{P}(a<X<b)=F(b^{-})-F(a)$
• $\mathrm{P}(X=b)=F(b)-F(b^{-})$

Se $X$ è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di $X$ può essere espressa come funzione integrale:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)du$

ove $f$ è detta funzione di densità di $X$. Si può anche considerare la relazione inversa:

$F^{\prime }(x)=f(x)$

Se $X$ è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori $x_1,\dots ,x_n,\dots$)

$F(x)=\sum _{x_i\le x}p(x_i)$

dove $p(x)=P(X=x)$ è detta funzione di probabilità di $X$.

Esempi

Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme

Se $X$ è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<1\\ \lfloor x\rfloor /6& 1\le x<6\\ 1& x\ge 6\end{array}$

dove con $\lfloor x\rfloor$ si indica la parte intera di x.

Se $X$ è la variabile casuale uniforme continua in $[0,1]$ si ha

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ x& 0\le x<1\\ 1& x\ge 1\end{array}$.

Funzione di sopravvivenza

In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore $x$ (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza $S$ (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:

$S(x)=P(X>x)=1-F(x)$

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:

$S(x)=\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt$

e

$S(x)=\sum _{t>x}p(t).$

Ogni funzione di sopravvivenza $S(x)$ è una funzione monotona decrescente, vale a dire $S(a)\le S(b)$ per $a>b.$

Il tempo $x=0$ rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.

Variabili aleatorie multivariate

Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria $X$ a valori in ${ℝ}^k$ è la funzione $F(x)$ con dominio ${ℝ}^k$ e codominio l'intervallo $[0,1]$ definita da

$F(x_1,\dots ,x_k)=P((X_1\le x_1)\cap (X_2\le x_2)\cap \dots \cap (X_k\le x_k))$

dove $X_i$ sono le componenti di $X$.

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:

• Per qualsiasi $i$, $\underset{x_i\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x_1,\dots ,x_k)=0$
• $F$ è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se $c>0$, $F(x_1,\dots ,x_i+c,\dots ,x_k)\ge F(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_k)$
• se $k=2$ per semplicità, $P(a<X_1\le b,c<X_2\le d)=F(b,d)+F(a,c)-F(a,d)-F(b,c)$
• $\underset{x_i\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x_1,\dots ,x_k)=G(x_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_k)$ dove $G$ è la funzione di ripartizione della variabile $(k-1)$-variata $(X_1,X_2,\dots ,X_{i-1},X_{i+1},\dots ,X_k)$.

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza

$\underset{x_k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x_{k-1}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\dots \underset{x_1\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x_1,x_2,\dots ,x_k)=1$

e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici $i$.

In statistica descrittiva

Template:Vedi anche In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con $F(x)$ e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore $x$.

Se $x_1,\dots ,x_n$ sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative $f_1,\dots ,f_n$ la funzione di ripartizione ha espressione analitica

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<x_1\\ F_i=\sum _{j\le i}{f}_j& x_i\le x<x_{i+1}\\ 1& x\ge x_n\end{array}$

Le $F_i$ sono dette frequenze relative cumulate.

Bibliografia

• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003
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Voci correlate

• Distribuzione (statistica)
• Funzione càdlàg
• Funzione di densità di probabilità
• Funzione caratteristica (teoria della probabilità)
• Funzione di probabilità
• Integrale
• Percentile
• Quantile
• Statistica
• Teoria della probabilità
• Variabile casuale
• Histogram matching

Collegamenti esterni

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