Trasformazione di Möbius

Template:F In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

dove $z,a,b,c$ e $d$ sono numeri complessi con $ad-bc\ne 0$.

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

Definizione

Una trasformazione di Möbius è una funzione

$f:\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}$

definita sulla sfera di Riemann

$\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\},$

della forma

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

con determinante diverso da zero

$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc\ne 0.$

Automorfismi della sfera di Riemann

Esempi

La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

$f(-\frac{d}{c})=\frac{ad-bc}{0}=\mathrm{\infty },$

$f(-\frac{b}{a})=\frac{0}{-cb+ad}=0,$

$f(\mathrm{\infty })=\frac{a}{c}.$

Rappresentazione tramite matrici

La trasformazione $f$ è determinata dalla matrice

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ)$ composto da tutte le matrici complesse invertibili $2\times 2$.

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici $A$ e $B$, è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice $BA$.

Automorfismo

La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice $A$ ha una inversa, associata alla matrice inversa $A^{-1}$.

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{(}\widehat{ℂ}\mathrm{)}\mathrm{.}$

Struttura di gruppo

La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

$h:{\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{(}\widehat{ℂ}\mathrm{)}\mathrm{.}$

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma $\lambda I$, dove $I$ è la matrice identità e $\lambda \ne 0$ è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ):={\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(ℂ){/}_{\sim }\cong \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\widehat{ℂ})$

dove $A\sim B$ se e solo se $A=\lambda B$ per qualche $\lambda$. Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

Proprietà basilari

Trasformazioni elementari

Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

1. $f(z)=z+b$      (traslazione)
2. $f(z)=1/z$         (inversione)
3. $f(z)=az$           (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti $0$ e $\mathrm{\infty }$. A proposito della terza trasformazione, scrivendo $a$ in coordinate polari

$a=r{e}^{i\theta }$

si verifica che è una rotazione di angolo $\theta$, composta con una omotetia di fattore $r$.

Mappe conformi

Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

Rette e circonferenze

L'inversione $f(z)=1/z$ manda l'infinito in zero, e quindi le rette (che sono circonferenze passanti per l'infinito) in circonferenze e rette passanti per l'origine.

Una circonferenza nella sfera di Riemann $\widehat{ℂ}$ è una circonferenza di $ℂ$, oppure una retta di $ℂ$ completata con il punto all'infinito.

L'immagine $f(C)$ di una circonferenza $C$ tramite una funzione di Möbius $f$ è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

Birapporto

Una trasformazione di Möbius $f$ preserva il birapporto $\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{p}(z_1,z_2,z_3,z_4)$ di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

$\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{p}(z_1,z_2,z_3,z_4)=\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{p}(f(z_1),f(z_2),f(z_3),f(z_4)).$

Funzione meromorfa

Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in $z=-d/c$ di ordine 1.

Trasformazione proiettiva

Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa ${ℂ\mathbb{P}}^1$ tramite la mappa

$\varphi :{ℂ\mathbb{P}}^1\to \widehat{ℂ},$

$\varphi :[z_0,z_1]\mapsto \frac{z_0}{z_1}.$

Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.

Voci correlate

• Gruppo modulare Gamma
• Sfera di Riemann
• Retta proiettiva
• Funzione meromorfa

Collegamenti esterni

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