Costanti di Stieltjes

L'area della regione blu converge alla costante di Eulero-Mascheroni, che è la 0-esima costante di Stieltjes.

In matematica, le costanti di Stieltjes ${\gamma }_n$ sono i coefficienti che compaiono nell'espansione in serie di Laurent della funzione zeta di Riemann:

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(s-1{)}^n.$

La costante ${\gamma }_0=\gamma =0,577\dots$ è più nota come costante di Eulero-Mascheroni.

Rappresentazioni

Le costanti di Stieltjes sono date dal limite

${\gamma }_n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\sum _{k=1}^m\frac{(\ln k{)}^n}{k}-\frac{(\ln m{)}^{n+1}}{n+1}\},$

nel caso $n=0$, nella prima sommatoria compare $0^0$, che si pone uguale a 1.

La formula di Cauchy fornisce una rappresentazione integrale

${\gamma }_n=\frac{(-1{)}^{n}n!}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{-nix}\zeta (e^{ix}+1)dx.$

Altre rappresentazioni in termini di serie e integrali compaiono nei lavori di Jensen, Franel, Hermite, Hardy, Ramanujan, Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine e altri autori. In particolare, la formula integrale di Jensen-Franel, spesso attribuita erroneamente a Ainsworth e Howell, afferma che

${\gamma }_n=\frac{1}{2}{\delta }_{n,0}+\frac{1}{i}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{e^{2\pi x}-1}\{\frac{(\ln (1-ix){)}^n}{1-ix}-\frac{(\ln (1+ix){)}^n}{1+ix}\},n=0,1,2,\dots$

dove ${\delta }_{n,k}$ è la delta di Kronecker. Inoltre, si hanno le seguenti identità

${\gamma }_n=-\frac{\pi }{2(n+1)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{(\ln (\frac{1}{2}\pm ix))}^{n+1}}{{\cosh }^2\pi x}dxn=0,1,2,\dots$

$\begin{array}{c}{\gamma }_1=-[\gamma -\frac{\ln 2}{2}]\ln 2+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{e^{\pi x}+1}\{\frac{\ln (1-ix)}{1-ix}-\frac{\ln (1+ix)}{1+ix}\}\\ {\gamma }_1=-{\gamma }^2-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}]e^{-x}\ln xdx.\end{array}$

Per quanto riguarda le rappresentazioni in serie, nel 1912 Hardy trovò la seguente serie in cui compare la parte intera di un logaritmo,

${\gamma }_1=\frac{\ln 2}{2}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}\lfloor {\log }_{2}k\rfloor \cdot (2{\log }_{2}k-\lfloor {\log }_{2}2k\rfloor ).$

Israilov scoprì una serie semiconvergente in termini dei numeri di Bernoulli $B_{2k}$

${\gamma }_m=\sum _{k=1}^n\frac{(\ln k{)}^m}{k}-\frac{(\ln n{)}^{m+1}}{m+1}-\frac{(\ln n{)}^m}{2n}-\sum _{k=1}^{N-1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{\left[\frac{(\ln x{)}^m}{x}\right]}_{x=n}^{(2k-1)}-\theta \cdot \frac{B_{2N}}{(2N)!}{\left[\frac{(\ln x{)}^m}{x}\right]}_{x=n}^{(2N-1)},0<\theta <1$

Connon, Blagouchine e Coppo fornirono invece molte serie che coinvolgono i coefficienti binomiali

$\begin{array}{c}{\gamma }_m=-\frac{1}{m+1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\ln (k+1){)}^{m+1}\\ {\gamma }_m=-\frac{1}{m+1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+2}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(\ln (k+1){)}^{m+1}}{k+1}\\ {\gamma }_m=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|G_{n+1}\right|\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(\ln (k+1){)}^m}{k+1}\end{array}$

dove $G_n$ sono i coefficienti di Gregory, anche conosciuti come numeri logaritmici reciproci ($G_1=+1/2$, $G_2=-1/12$, $G_3=+1/24$, $G_4=-19/720$,... ). Oloa e Tauraso mostrarono che certe serie con i numeri armonici conducono alle costanti di Stieltjes

$\begin{array}{c}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n-(\gamma +\ln n)}{n}=-{\gamma }_1-\frac{1}{2}{\gamma }^2+\frac{1}{12}{\pi }^2\\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n^2-(\gamma +\ln n{)}^2}{n}=-{\gamma }_2-2\gamma {\gamma }_1-\frac{2}{3}{\gamma }^3+\frac{5}{3}\zeta (3)\end{array}$

Blagouchine ottenne una serie lentamente convergente in cui compaiono i numeri di Stirling del primo tipo senza segno $\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{\cdot }{\cdot }\right]$

${\gamma }_m=\frac{1}{2}{\delta }_{m,0}+\frac{(-1{)}^{m}m!}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot n!}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{(-1{)}^k\cdot \left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+2}{m+1}\right]\cdot \left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1}\right]}{(2\pi {)}^{2k+1}},m=0,1,2,...,$

insieme a una serie semiconvergente con solo termini razionali

${\gamma }_m=\frac{1}{2}{\delta }_{m,0}+(-1{)}^{m}m!\cdot \sum _{k=1}^N\frac{\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{m+1}\right]\cdot B_{2k}}{(2k)!}+\theta \cdot \frac{(-1{)}^{m}m!\cdot \left[\genfrac{}{}{0ex}{}{2N+2}{m+1}\right]\cdot B_{2N+2}}{(2N+2)!},0<\theta <1,$

dove $M=0,1,2,\dots$. In particolare, la serie per la prima costante di Stieltjes ha una forma sorprendentemente semplice

${\gamma }_1=-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N\frac{B_{2k}\cdot H_{2k-1}}{k}+\theta \cdot \frac{B_{2N+2}\cdot H_{2N+1}}{2N+2},0<\theta <1,$

dove $H_n$ è l'$n$-esimo numero armonico. Delle serie molto più complicate sono fornite negli scritti di Lehmer, Liang, Todd, Lavrik, Israilov, Stankus, Keiper, Nan-You, Williams, Coffey.

Stime e andamento asintotico

Le costanti di Stieltjes in valore assoluto soddisfano il seguente maggiorante

$|{\gamma }_n|\le \{\begin{array}{cc}\frac{2(n-1)!}{{\pi }^n},& n=1,3,5,\dots \\ \frac{4(n-1)!}{{\pi }^n},& n=2,4,6,\dots \end{array}$

scoperto da Berndt nel 1972. Migliori stime in termini di funzioni elementari furono ottenute da Lavrik

$|{\gamma }_n|\le \frac{n!}{2^{n+1}},n=1,2,3,\dots$

e da Israilov

$|{\gamma }_n|\le \frac{n!C(k)}{(2k{)}^n},n=1,2,3,\dots$

con $k=1,2,\dots$ e $C(1)=1/2$, $C(2)=7/12$,...; da Nan-You e Williams

$|{\gamma }_n|\le \{\begin{array}{cc}\frac{2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi {)}^n},& n=1,3,5,\dots \\ \frac{4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi {)}^n},& n=2,4,6,\dots \end{array}$

e inoltre da Blagouchine

$\begin{array}{cc}-\frac{\left|B_{m+1}\right|}{m+1}<{\gamma }_m<\frac{(3m+8)\cdot \left|B_{m+3}\right|}{24}-\frac{\left|B_{m+1}\right|}{m+1},& m=1,5,9,\dots \\ \frac{\left|B_{m+1}\right|}{m+1}-\frac{(3m+8)\cdot \left|B_{m+3}\right|}{24}<{\gamma }_m<\frac{\left|B_{m+1}\right|}{m+1},& m=3,7,11,\dots \\ -\frac{\left|B_{m+2}\right|}{2}<{\gamma }_m<\frac{(m+3)(m+4)\cdot \left|B_{m+4}\right|}{48}-\frac{\left|B_{m+2}\right|}{2},& m=2,6,10,\dots \\ \frac{\left|B_{m+2}\right|}{2}-\frac{(m+3)(m+4)\cdot \left|B_{m+4}\right|}{48}<{\gamma }_m<\frac{\left|B_{m+2}\right|}{2},& m=4,8,12,\dots \end{array}$

dove $B_n$ sono i numeri di Bernoulli. Infine si ha la seguente stima di Matsuoka

$|{\gamma }_n|<10^{-4}{e}^{n\ln \ln n},n=5,6,7,\dots$

Per quanto riguarda le stime per mezzo di funzioni non elementari e loro soluzioni, Knessl, Coffey and Fekih-Ahmed ottennero dei risultati abbastanza precisi. Per esempio, Knessl e Coffey fornirono la seguente formula che approssima le costanti di Stieltjes relativamente bene per $n$ grande. Se $v$ è la soluzione unica di

$2\pi \exp (v\tan v)=n\frac{\cos (v)}{v}$

con $0<v<\pi /2$, e se $u=v\tan v$, allora

${\gamma }_n\sim \frac{B}{\sqrt{n}}{e}^{nA}\cos (an+b)$

dove

$A=\frac{1}{2}\ln (u^2+v^2)-\frac{u}{u^2+v^2}$

$B=\frac{2\sqrt{2\pi }\sqrt{u^2+v^2}}{[(u+1{)}^2+v^2{]}^{1/4}}$

$a={\tan }^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)+\frac{v}{u^2+v^2}$

$b={\tan }^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{v}{u+1}\right).$

Fino a $n=100000$, l'approssimazione di Knessl-Coffey ha predetto correttamente il segno di ${\gamma }_n$, con la singola eccezione di $n=137$.

Valori numerici

I primi valori di ${\gamma }_n$ sono:

$n$	valore approssimato di ${\gamma }_n$	OEIS
0	+0,5772156649015328606065120900824024310421593359	A001620
1	−0,0728158454836767248605863758749013191377363383	A082633
2	−0,0096903631928723184845303860352125293590658061	A086279
3	+0,0020538344203033458661600465427533842857158044	A086280
4	+0,0023253700654673000574681701775260680009044694	A086281
5	+0,0007933238173010627017533348774444448307315394	A086282
6	−0,0002387693454301996098724218419080042777837151	A183141
7	−0,0005272895670577510460740975054788582819962534	A183167
8	−0,0003521233538030395096020521650012087417291805	A183206
9	−0,0000343947744180880481779146237982273906207895	A184853
10	+0,0002053328149090647946837222892370653029598537	A184854
100	−4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000	−1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000	−2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000	+1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

Per $n$ grande, le costanti di Stieltjes crescono rapidamente in valore assoluto, e cambiano segno con uno schema molto complesso.

Si possono trovare ulteriori informazioni sulla valutazione numerica delle costanti di Stieltjes nei lavori di Keiper, Kreminski, Plouffe e Johansson. L'ultimo autore ha dato i valori delle costanti di Stieltjes fino a $n=100000$, ciascuna precisa alla 10000ª cifra. I valori numeri si possono trovare anche in LMFDB.

Costanti di Stieltjes generalizzate

Informazioni generali

Più in generale, si possono definire le costanti di Stieltjes ${\gamma }_n(a)$ che compaiono nella serie di Laurent della funzione zeta di Hurwitz:

$\zeta (s,a)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(a)(s-1{)}^n,$

dove $a$ è un numero complesso con $\mathrm{Re}(a)>0$. Dal momento che la funzione zeta di Hurwitz è una generalizzazione della funzione zeta di Riemann, si ha che ${\gamma }_n(1)={\gamma }_n$. La costante con $n=0$ è semplicemente la funzione digamma ${\gamma }_0(a)=-\psi (a)$, mentre non si sa se anche le altre costanti sono riconducibili a una funzione elementare o classica dell'analisi. A ogni modo, esistono numerose rappresentazioni per queste costanti. Per esempio, esiste la seguente rappresentazione asintotica

${\gamma }_n(a)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\sum _{k=0}^m\frac{(\ln (k+a){)}^n}{k+a}-\frac{(\ln (m+a){)}^{n+1}}{n+1}\},\begin{array}{c}n=0,1,2,\dots \\ a\ne 0,-1,-2,\dots \end{array}$

dovuta a Berndt e Wilton. L'analoga per le costanti di Stieltjes generalizzate della formula di Jensen-Franel è la formula di Hermite

${\gamma }_n(a)=[\frac{1}{2a}-\frac{\ln a}{n+1}](\ln a{)}^n-i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{e^{2\pi x}-1}\{\frac{(\ln (a-ix){)}^n}{a-ix}-\frac{(\ln (a+ix){)}^n}{a+ix}\},\begin{array}{c}n=0,1,2,\dots \\ a\ne 0,-1,-2,\dots \end{array}$

Le costanti di Stieltjes generalizzate soddisfano la seguente relazione ricorsiva

${\gamma }_n(a+1)={\gamma }_n(a)-\frac{(\ln a{)}^n}{a},\begin{array}{c}n=0,1,2,\dots \\ a\ne 0,-1,-2,\dots \end{array}$

come anche il teorema di moltiplicazione

$\sum _{l=0}^{n-1}{\gamma }_p(a+\frac{l}{n})=(-1{)}^{p}n[\frac{\ln n}{p+1}-\mathrm{\Psi }(an)](\ln n{)}^p+n\sum _{r=0}^{p-1}(-1{)}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{r}){\gamma }_{p-r}(an)\cdot (\ln n{)}^r,n=2,3,4,\dots$

dove $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{r})$ indica il coefficiente binomiale.

Prima costante di Stieltjes generalizzata

La prima costante di Stieltjes generalizzata possiede un bel numero di proprietà notevoli.

• Identità di Malmsten (formula di riflessione per la prima costante generalizzata): la formula di riflessione per la prima costante di Stieltjes generalizzata è la seguente

${\gamma }_1\left(\frac{m}{n}\right)-{\gamma }_1(1-\frac{m}{n})=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin \frac{2\pi ml}{n}\cdot \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{l}{n}\right)-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot \frac{m\pi }{n}$

dove $m$ e $n$ sono due interi positivi tali che $m<n$. Questa formula è stata attribuita per lungo tempo a Almkvist e Meurman, che la derivarono negli anni '90. Tuttavia, si è recentemente scoperto che l'identità, sebbene in una forma leggermente diversa, fu per la prima volta ottenuta da Carl Malmsten nel 1846.

• Teorema degli argomenti razionali: la prima costante di Stieltjes generalizzata può essere calcolata nei numeri razionali in forma quasi-chiusa attraverso la seguente formula

$\begin{array}{cc}{\gamma }_1\left(\frac{r}{m}\right)=& {\gamma }_1+{\gamma }^2+\gamma \ln 2\pi m+\ln 2\pi \cdot \ln m+\frac{1}{2}(\ln m{)}^2+(\gamma +\ln 2\pi m)\cdot \mathrm{\Psi }\left(\frac{r}{m}\right)\\ {\displaystyle }& +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin \frac{2\pi rl}{m}\cdot \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{l}{m}\right)+\sum _{l=1}^{m-1}\cos \frac{2\pi rl}{m}\cdot {\zeta }^{″}(0,\frac{l}{m})\end{array},r=1,2,3,\dots ,m-1.$

Una dimostrazione alternativa fu successivamente proposta da Coffey e molti altri autori.

• Somme finite: esistono molte sommatorie che riguardano la prima costante di Stieltjes generalizzata. Per esempio:

$\begin{array}{c}\sum _{r=0}^{m-1}{\gamma }_1(a+\frac{r}{m})=m\ln m\cdot \mathrm{\Psi }(am)-\frac{m}{2}(\ln m{)}^2+m{\gamma }_1(am),a\in ℂ\\ \sum _{r=1}^{m-1}{\gamma }_1\left(\frac{r}{m}\right)=(m-1){\gamma }_1-m\gamma \ln m-\frac{m}{2}(\ln m{)}^2\\ \sum _{r=1}^{2m-1}(-1{)}^r{\gamma }_1(\frac{r}{2m})=-{\gamma }_1+m(2\gamma +\ln 2+2\ln m)\ln 2\\ \sum _{r=0}^{2m-1}(-1{)}^r{\gamma }_1(\frac{2r+1}{4m})=m\{4\pi \ln \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})-\pi (4\ln 2+3\ln \pi +\ln m+\gamma \left)\right\}\\ \sum _{r=1}^{m-1}{\gamma }_1\left(\frac{r}{m}\right)\cdot \cos \frac{2\pi rk}{m}=-{\gamma }_1+m(\gamma +\ln 2\pi m)\ln (2\sin \frac{k\pi }{m})+\frac{m}{2}\{{\zeta }^{″}(0,\frac{k}{m})+{\zeta }^{″}(0,1-\frac{k}{m})\},k=1,2,\dots ,m-1\\ \sum _{r=1}^{m-1}{\gamma }_1\left(\frac{r}{m}\right)\cdot \sin \frac{2\pi rk}{m}=\frac{\pi }{2}(\gamma +\ln 2\pi m)(2k-m)-\frac{\pi m}{2}\{\ln \pi -\ln \sin \frac{k\pi }{m}\}+m\pi \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{m}\right),k=1,2,\dots ,m-1\\ \sum _{r=1}^{m-1}{\gamma }_1\left(\frac{r}{m}\right)\cdot \cot \frac{\pi r}{m}=\frac{\pi }{6}\{(1-m)(m-2)\gamma +2(m^2-1)\ln 2\pi -(m^2+2)\ln m\}-2\pi \sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{l}{m}\right)\\ \sum _{r=1}^{m-1}\frac{r}{m}\cdot {\gamma }_1\left(\frac{r}{m}\right)=\frac{1}{2}\{(m-1){\gamma }_1-m\gamma \ln m-\frac{m}{2}(\ln m{)}^2\}-\frac{\pi }{2m}(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}l\cdot \cot \frac{\pi l}{m}-\frac{\pi }{2}\sum _{l=1}^{m-1}\cot \frac{\pi l}{m}\cdot \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{l}{m}\right)\end{array}$

Per ulteriori dettagli e sommatorie, vedere.

• Alcuni valori particolari: Alcuni particolari valori di ${\gamma }_1(a)$ con $a$ razionale si possono ricondurre alla funzione gamma, alla prima costante di Stieltjes e a qualche funzione elementare. Per esempio,

${\gamma }_1\left(\frac{1}{2}\right)=-2\gamma \ln 2-(\ln 2{)}^2+{\gamma }_1=-1,353459680\dots$

I valori della prima costante di Stieltjes generalizzata nei punti $1/4$, $3/4$ e $1/3$furono ottenuti indipendentemente da Connon e Blagouchine

$\begin{array}{c}{\gamma }_1\left(\frac{1}{4}\right)=2\pi \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3\pi }{2}\ln \pi -\frac{7}{2}(\ln 2{)}^2-(3\gamma +2\pi )\ln 2-\frac{\gamma \pi }{2}+{\gamma }_1=-5,518076350\dots \\ {\gamma }_1\left(\frac{3}{4}\right)=-2\pi \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{3\pi }{2}\ln \pi -\frac{7}{2}(\ln 2{)}^2-(3\gamma -2\pi )\ln 2+\frac{\gamma \pi }{2}+{\gamma }_1=-0,3912989024\dots \\ {\gamma }_1\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{3\gamma }{2}\ln 3-\frac{3}{4}(\ln 3{)}^2+\frac{\pi }{4\sqrt{3}}\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\}+{\gamma }_1=-3,259557515\dots \end{array}$

Nei punti $2/3$, $1/6$ e $5/6$

$\begin{array}{c}{\gamma }_1\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{3\gamma }{2}\ln 3-\frac{3}{4}(\ln 3{)}^2-\frac{\pi }{4\sqrt{3}}\{\ln 3-8\ln 2\pi -2\gamma +12\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\}+{\gamma }_1=-0,5989062842\dots \\ {\gamma }_1\left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{3\gamma }{2}\ln 3-\frac{3}{4}(\ln 3{)}^2-(\ln 2{)}^2-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2+\frac{3\pi \sqrt{3}}{2}\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{6}\right)\\ -\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\{3\ln 3+11\ln 2+\frac{15}{2}\ln \pi +3\gamma \}+{\gamma }_1=-10,74258252\dots \\ {\gamma }_1\left(\frac{5}{6}\right)=-\frac{3\gamma }{2}\ln 3-\frac{3}{4}(\ln 3{)}^2-(\ln 2{)}^2-(3\ln 3+2\gamma )\ln 2-\frac{3\pi \sqrt{3}}{2}\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{6}\right)\\ +\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\{3\ln 3+11\ln 2+\frac{15}{2}\ln \pi +3\gamma \}+{\gamma }_1=-0,2461690038\dots \end{array}$

Questi valori sono stati calcolati da Blagouchine. Sono dovute allo stesso autore anche le seguenti identità

$\begin{array}{cc}{\gamma }_1\left(\frac{1}{5}\right)=& {\gamma }_1+\frac{\sqrt{5}}{2}\{{\zeta }^{″}(0,\frac{1}{5})+{\zeta }^{″}(0,\frac{4}{5})\}+\frac{\pi \sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{5}\right)\\ & +\frac{\pi \sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{2}{5}\right)+\{\frac{\sqrt{5}}{2}\ln 2-\frac{\sqrt{5}}{2}\ln (1+\sqrt{5})-\frac{5}{4}\ln 5-\frac{\pi \sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}\}\cdot \gamma \\ & -\frac{\sqrt{5}}{2}\{\ln 2+\ln 5+\ln \pi +\frac{\pi \sqrt{25-10\sqrt{5}}}{10}\}\cdot \ln (1+\sqrt{5})+\frac{\sqrt{5}}{2}(\ln 2{)}^2+\frac{\sqrt{5}(1-\sqrt{5})}{8}(\ln 5{)}^2\\ & +\frac{3\sqrt{5}}{4}\ln 2\cdot \ln 5+\frac{\sqrt{5}}{2}\ln 2\cdot \ln \pi +\frac{\sqrt{5}}{4}\ln 5\cdot \ln \pi -\frac{\pi (2\sqrt{25+10\sqrt{5}}+5\sqrt{25+2\sqrt{5}})}{20}\ln 2\\ & -\frac{\pi (4\sqrt{25+10\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}})}{40}\ln 5-\frac{\pi (5\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{25+10\sqrt{5}})}{10}\ln \pi \\ & =-8,030205511\dots \\ {\gamma }_1\left(\frac{1}{8}\right)=& {\gamma }_1+\sqrt{2}\{{\zeta }^{″}(0,\frac{1}{8})+{\zeta }^{″}(0,\frac{7}{8})\}+2\pi \sqrt{2}\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{8}\right)-\pi \sqrt{2}(1-\sqrt{2})\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)\\ & -\{\frac{1+\sqrt{2}}{2}\pi +4\ln 2+\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2}\left)\right\}\cdot \gamma -\frac{1}{\sqrt{2}}(\pi +8\ln 2+2\ln \pi )\cdot \ln (1+\sqrt{2})\\ & -\frac{7(4-\sqrt{2})}{4}(\ln 2{)}^2+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln 2\cdot \ln \pi -\frac{\pi (10+11\sqrt{2})}{4}\ln 2-\frac{\pi (3+2\sqrt{2})}{2}\ln \pi \\ & =-16,64171976\dots \\ {\gamma }_1\left(\frac{1}{12}\right)=& {\gamma }_1+\sqrt{3}\{{\zeta }^{″}(0,\frac{1}{12})+{\zeta }^{″}(0,\frac{11}{12})\}+4\pi \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)+3\pi \sqrt{3}\ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\\ & -\{\frac{2+\sqrt{3}}{2}\pi +\frac{3}{2}\ln 3-\sqrt{3}(1-\sqrt{3})\ln 2+2\sqrt{3}\ln (1+\sqrt{3}\left)\right\}\cdot \gamma \\ & -2\sqrt{3}(3\ln 2+\ln 3+\ln \pi )\cdot \ln (1+\sqrt{3})-\frac{7-6\sqrt{3}}{2}(\ln 2{)}^2-\frac{3}{4}(\ln 3{)}^2\\ & +\frac{3\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{2}\ln 3\cdot \ln 2+\sqrt{3}\ln 2\cdot \ln \pi -\frac{\pi (17+8\sqrt{3})}{2\sqrt{3}}\ln 2\\ & +\frac{\pi (1-\sqrt{3})\sqrt{3}}{4}\ln 3-\pi \sqrt{3}(2+\sqrt{3})\ln \pi =-29,84287823\dots \end{array}$

Seconda costante di Stieltjes generalizzata

La seconda costante di Stieltjes generalizzata è molto meno studiata della prima. Similmente alla prima, si possono calcolare i valori di ${\gamma }_2(a)$ con $a$ razionale e $r=1,2,3,\dots ,m-1,$ attraverso la seguente formula

$\begin{array}{c}{\gamma }_2\left(\frac{r}{m}\right)={\gamma }_2+\frac{2}{3}\sum _{l=1}^{m-1}\cos \frac{2\pi rl}{m}\cdot {\zeta }^{‴}(0,\frac{l}{m})-2(\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\cos \frac{2\pi rl}{m}\cdot {\zeta }^{″}(0,\frac{l}{m})\\ +\pi \sum _{l=1}^{m-1}\sin \frac{2\pi rl}{m}\cdot {\zeta }^{″}(0,\frac{l}{m})-2\pi (\gamma +\ln 2\pi m)\sum _{l=1}^{m-1}\sin \frac{2\pi rl}{m}\cdot \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{l}{m}\right)-2{\gamma }_1\ln m\\ -{\gamma }^3-[(\gamma +\ln 2\pi m{)}^2-\frac{{\pi }^2}{12}]\cdot \mathrm{\Psi }\left(\frac{r}{m}\right)+\frac{{\pi }^3}{12}\cot \frac{\pi r}{m}-{\gamma }^2\ln \left(4{\pi }^2{m}^3\right)+\frac{{\pi }^2}{12}(\gamma +\ln m)\\ -\gamma ((\ln 2\pi {)}^2+4\ln m\cdot \ln 2\pi +2(\ln m{)}^2)-\{(\ln 2\pi {)}^2+2\ln 2\pi \cdot \ln m+\frac{2}{3}(\ln m{)}^2\}\ln m.\end{array}$

Un risultato equivalente fu ottenuto successivamente da Coffey per mezzo di un altro metodo.

Voci correlate

• Costante di Eulero-Mascheroni
• Funzione zeta di Riemann
• Serie di Laurent
• Costante di Apéry

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni