Lemma di Jordan

Template:F In matematica, il lemma di Jordan (dal nome del suo ideatore, il matematico francese Camille Jordan) è usato per la risoluzione di integrali impropri tramite il calcolo di particolari integrali di linea.

Enunciato

Data una funzione $f(z)$ continua su $ℂ$, sia ${\gamma }_R$ un arco di circonferenza centrato nell'origine del piano di Gauss e raggio $R$ la cui ascissa curvilinea si estenda tra ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$, tali che $0\le {\theta }_1<{\theta }_2\le \pi$. Se

$\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\theta \in [{\theta }_1;{\theta }_2]}{\max }|f(R{e}^{i\theta })|=0,$

allora

$\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{i\omega z}dz=0,$

ove $\omega$ è un qualunque numero reale positivo.

Si osservi che tale arco di circonferenza giace nel semipiano superiore del piano di Gauss. In effetti è sufficiente che ${\gamma }_R$ sia omotopo ad un arco di circonferenza.

Dimostrazione

Essendo per ipotesi

$\underset{z\in {\gamma }_R}{\max }|f(z)|=M_R\Rightarrow \underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_R=0$

allora parametrizzando ${\gamma }_R(t)=R{e}^{it}$

$0\le |\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{i\omega z}dz|\le \underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}|f(R{e}^{it})e^{\omega iR{e}^{it}}iR|dt\le R\underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}|f(R{e}^{it})|\cdot \left|e^{i\omega R{e}^{it}}\right|dt\le M_{R}R\underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}\left|e^{i\omega R{e}^{it}}\right|dt$

in particolare

$\left|e^{i\omega R{e}^{it}}\right|=\left|e^{\omega Ri(\cos t+i\sin t)}\right|=\left|e^{\omega R(i\cos t-\sin t)}\right|\le e^{-\omega R\sin t}$

quindi

$0\le |\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{i\omega z}dz|\le M_{R}R\underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}{e}^{-\omega R\sin t}dt\le M_{R}R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{-\omega R\sin t}dt$

la funzione $g(t)=\sin t,t\in [0,\frac{\pi }{2}]$ è maggiorante della funzione $h(t)=\frac{2}{\pi }t,t\in [0,\frac{\pi }{2}]$ quindi

$0\le |\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{i\omega z}dz|\le 2M_{R}R\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{-\omega R\frac{2}{\pi }t}dt=-2M_{R}R{\left[e^{-\omega R\frac{2}{\pi }t}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{\pi }{2\omega R}=-\frac{\pi }{\omega }{M}_R(e^{-\omega R}-1)$

passando al limite per $R\to +\mathrm{\infty }$

$0\le \underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }|\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{i\omega z}dz|\le \underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{\pi }{\omega }{M}_R(e^{-\omega R}-1)=0$

ovvero l'asserto.

Osservazioni

Prima

Omettendo l'ipotesi che $\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_R=0$ resta dimostrata la seguente stima

$|\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{i\omega z}dz|\le \frac{\pi }{\omega }{M}_R(1-e^{-\omega R})\le \frac{\pi }{\omega }{M}_R$

Seconda

L'ipotesi fondamentale del teorema è che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo $[0,\pi ]$. Sembrerebbe essere escluso il caso con $\omega$ negativo, invece, il lemma resta valido con l'ipotesi che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo $[\pi ,2\pi ]$.

La dimostrazione è analoga fino alla maggiorazione di $-\sin t$ con $1$, in quanto, per la periodicità della funzione seno si ottiene la maggiorazione

$0\le |\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{i\omega z}dz|\le M_{R}R\underset{\pi }{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{-\omega R\sin t}dt=M_{R}R\underset{-\pi }{\overset{0}{\int }}{e}^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{0}{\int }}{e}^{-\omega R\sin t}dt\le 2M_{R}R\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{0}{\int }}{e}^{\omega R}dt$

da cui la maggiorazione

$0\le |\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{i\omega z}dz|\le \pi e^{\omega R}{M}_R$

Terza

In certi integrali risulta impossibile abbinare la curva nel semipiano positivo con esponenziale ad esponente positivo, o viceversa. Un trucco molto utilizzato è il seguente.

Per esempio si potrebbe avere un integrale del genere:

$\underset{{\gamma }_R}{\int }f(z)e^{-i\omega z}dz$

con una curva nel semipiano positivo. Si opera così dividendo l'integrale in tre parti

$\underset{{\gamma }_R}{\int }=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }-\underset{{\tilde{\gamma }}_R}{\int }$

ove su $\mathrm{\Gamma }$ si applica il teorema dei residui e tale curva è una circonferenza centrata nell'origine di raggio $R$.

Invece su ${\tilde{\gamma }}_R$ si applica il lemma di Jordan, in quanto la curva è nel semipiano negativo con esponenziale ad esponente negativo, quindi l'integrale esteso a ${\tilde{\gamma }}_R$ apporta un contributo nullo.

Quarta

Insieme al lemma del cerchio grande ed al lemma del cerchio piccolo, si riesce a risolvere la tipologia di integrale aventi singolarità isolate, sia su tutto $ℝ$ che su una curva chiusa e regolare omotopa ad un arco di circonferenza.

Voci correlate

• Teorema dei residui
• Analisi complessa
• Lemma del cerchio grande
• Lemma del cerchio piccolo
• Polo (analisi complessa)

Collegamenti esterni

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