Precessione di Larmor

Schematizzazione della precessione del nucleo atomico

In meccanica quantistica e fisica atomica, la precessione di Larmor, il cui nome è dovuto a Joseph Larmor, è la precessione dei momenti magnetici degli elettroni o dei nuclei atomici in un atomo attorno alla direzione di un campo magnetico esterno omogeneo.

Il campo magnetico $𝐁$ esercita un momento meccanico $𝐌$ dato dal prodotto vettoriale:

$𝐌=\mathit{\mu }\times 𝐁=\gamma 𝐋\times 𝐁$

dove $\mathit{\mu }$ è il momento di dipolo magnetico, $𝐋$ è il momento angolare e $\gamma$ è il rapporto giromagnetico, che fornisce la costante di proporzionalità tra momento angolare e momento magnetico.

La precessione di Larmor fornisce un semplice modello teorico che permette di spiegare il diamagnetismo. Inoltre, ha un importante impiego tecnologico nella risonanza magnetica nucleare: per il nucleo di idrogeno, il più usato per questo scopo, il valore del rapporto giromagnetico $\gamma$ è di 42.5756*10^6 (rad/s)/T.

Pulsazione di Larmor

Il vettore del momento angolare precede sull'asse del campo magnetico esterno con una frequenza angolare nota come pulsazione di Larmor:

$\omega =-\gamma B$

La precessione

Il campo magnetico esercita un momento meccanico, producendo un moto giroscopico (come una trottola). La frequenza della precessione si dice frequenza di Larmor, e dipende dal campo di induzione magnetica $𝐁$ e dal momento magnetico $\mathit{\mu }=\gamma 𝐋$. Essa equivale a:

${\nu }_L=-\frac{\gamma B}{2\pi }$

Il momento meccanico $𝐌$ cui è sottoposto un momento magnetico $\mathit{\mu }$ in un campo di induzione magnetica omogeneo $𝐁$ è dato da:

$𝐌=\mathit{\mu }\times 𝐁=\gamma 𝐋\times 𝐁=-\gamma 𝐁\times 𝐋$

poiché in generale si può scrivere il momento magnetico come il prodotto del momento angolare $𝐋$ per il fattore giromagnetico $\gamma$:

$\mathit{\mu }=\gamma 𝐋$

In base alla seconda equazione cardinale il momento meccanico si può scrivere come:

$𝐌=\frac{d𝐋}{dt}$

avendo supposto la velocità del polo nulla (l'atomo è fermo). La derivata di un vettore a modulo costante, come il momento angolare in questo caso, è:

$𝐌=\frac{d𝐋}{dt}={\mathit{\omega }}_L\times 𝐋$

La velocità angolare ${\mathit{\omega }}_L$ a cui il momento magnetico precede attorno alla direzione del campo è:

${\mathit{\omega }}_L=-\gamma 𝐁$

e la rispettiva frequenza di Larmor:

${\nu }_L=\frac{{\omega }_L}{2\pi }=-\frac{\gamma B}{2\pi }$

Considerando una particella di carica $e$ di massa $m$, si ha:

$\omega =\frac{egB}{2m}$

dove $g$ è il fattore-g dell'oggetto considerato. Nel caso di un nucleo, esso tiene conto degli effetti dello spin dei nucleoni, del loro momento angolare orbitale e dell'accoppiamento tra di essi.

Precessione di Thomas

Template:Vedi anche Un trattamento completo del fenomeno deve includere gli effetti della precessione di Thomas, in seguito ai quali la precedente equazione acquista un termine aggiuntivo:

${\omega }_s=\frac{geB}{2mc}+(1-\gamma )\frac{eB}{mc\gamma }$

dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz. Per l'elettrone $g$ è molto vicino a 2 (2.002..), e ponendo $g=2$ si ha:

${\omega }_{s(g=2)}=\frac{eB}{mc\gamma }$

Equazione di Bargmann-Michel-Telegdi

La precessione dello spin di un elettrone in un campo magnetico omogeneo è descritta dall'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi, detta talvolta equazione BMT:

$\frac{d{A}^{\tau }}{ds}=\frac{e}{m}{U}^{\tau }{U}_{\sigma }{F}^{\sigma \lambda }{A}_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-U^{\tau }{U}_{\sigma }{F}^{\sigma \lambda })A_{\lambda }$

dove $A^{\tau }$, $e$, $m$, e $\mu$ sono rispettivamente il quadrivettore di polarizzazione, carica, massa e momento magnetico, mentre $U^{\tau }$ è la quadrivelocità dell'elettrone e $F^{\tau \sigma }$ il tensore elettromagnetico. Inoltre:

$A^{\tau }{A}_{\tau }=-U^{\tau }{U}_{\tau }=-1U^{\tau }{A}_{\tau }=0$

Utilizzando l'equazione del moto:

$m\frac{d{U}^{\tau }}{ds}=e{F}^{\tau \sigma }{U}_{\sigma }$

si può riscrivere il primo termine nel membro a destra dell'equazione BMT come:

$(-U^{\tau }{W}^{\lambda }+U^{\lambda }{W}^{\tau })A_{\lambda }$

dove $W^{\tau }=d{U}^{\tau }/ds$ è la quadriaccelerazione. Questo termine descrive il trasporto di Fermi-Walker e conduce alla precessione di Thomas. Il secondo termine è invece associato alla precessione di Larmor.

Quando un campo elettromagnetico è uniforme nello spazio, o quando si possono trascurare forze come il gradiente $\mathrm{\nabla }(\mathit{\mu }\cdot 𝑩)$, il moto traslazionale della particella è descritto dalla relazione:

$\frac{d{U}^{\alpha }}{d\tau }=\frac{e}{m}{F}^{\alpha \beta }{U}_{\beta }$

L'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi è allora riscritta nella forma:

$\frac{d{S}^{\alpha }}{d\tau }=\frac{e}{m}[\frac{g}{2}{F}^{\alpha \beta }{S}_{\beta }+(\frac{g}{2}-1)U^{\alpha }\left(S_{\lambda }{F}^{\lambda \mu }{U}_{\mu }\right)]$

Se, invece, non potessimo trascurare quei termini di forza dati dal gradiente del campo, otterremmo:

$\frac{d{S}^{\alpha }}{d\tau }=\frac{ge}{2m}[F^{\alpha \beta }{S}_{\beta }+U^{\alpha }(S_{\lambda }{F}^{\lambda \mu }{U}_{\mu })]-U^{\alpha }(S_{\lambda }\frac{d{U}^{\lambda }}{d\tau })$

Bibliografia

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• Template:EnM. Conte, R. Jagannathan Template:Webarchive, S. A. Khan and M. Pusterla, Beam optics of the Dirac particle with anomalous magnetic moment, Particle Accelerators, 56, 99-126 (1996); (Preprint: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08)

Voci correlate

• Campo magnetico
• Diamagnetismo
• Dipolo magnetico
• Giroscopio
• Momento angolare
• Momento magnetico
• Polarizzazione magnetica
• Risonanza magnetica nucleare

Collegamenti esterni

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