Arcoseno

Template:Nota disambigua In trigonometria lTemplate:'arcoseno è definito come funzione inversa del seno di un angolo. La funzione seno non è biettiva quindi non è possibile avere la sua inversa, tuttavia è possibile restringere il suo dominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva e quindi invertibile. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione seno nell'intervallo $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

Notazione

In matematica l'arcoseno può essere indicato con una delle notazioni arcsin, arcsen, asin, asen, sin^-1, sen^-1. Queste ultime due notazioni, coerenti con la notazione per una funzione inversa (f^-1) e diffuse sulle tastiere di diverse calcolatrici, possono creare confusione con la notazione sen²(x), che oltre ad indicare la composizione sen(sen(x)) viene utilizzata per indicare il quadrato (sen x)²; per questo motivo il reciproco del seno di un angolo (la sua cosecante) viene sempre indicato con (sin x)^-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ASIN e ASN.

Proprietà

Grafico della funzione y=arcsin(x)

L'arcoseno è una funzione continua e strettamente crescente, definita per tutti i valori nell'intervallo $[-1,1]$:

$\arcsin :[-1,1]\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani, essendo $\arcsin x=-\arcsin (-x)$.

La derivata della funzione arcoseno è:

$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

La serie di Maclaurin corrispondente è:

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\cdots$.

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi, ossia per definizione di funzione dispari:

$\arcsin (-x)=-\arcsin x$.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcoseni in un'espressione dove l'arcoseno figura una volta sola:

$\arcsin x_1\pm \arcsin x_2=\{\begin{array}{cc}X& \pm x_1{x}_2\le 0\vee x_1^2+x_2^2\le 1\\ \pi -X& x_1>0\wedge \pm x_2>0\wedge x_1^2+x_2^2>1\\ -\pi -X& x_1<0\wedge \pm x_2<0\wedge x_1^2+x_2^2>1\end{array}$

con

$X=\arcsin (x_1\sqrt{1-x_2^2}\pm x_2\sqrt{1-x_1^2})$.

Arcoseno di una somma nell'intervallo in cui è definito l'arcoseno:

$\arcsin (x\pm y)=\arcsin \left(\sqrt{\frac{1+x^2-y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2{y}^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)\pm \arcsin \left(\sqrt{\frac{1-x^2+y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2{y}^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)$

da cui discendono:

$\arcsin (2x)=2\arcsin \left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{2}}\right)$

$\arcsin \left(\frac{x}{2}\right)=2\arcsin \left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{2}}\right)$

che sono casi particolari di:

$\arcsin (kx)=2\arcsin \left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-k^2{x}^2}}{2}}\right)$

per

$0\le kx\le 1$

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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