Cosecante

Grafico della funzione cosecante

In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto

In trigonometria la cosecante è una funzione definita come il reciproco del seno e indicata solitamente con la notazione csc:

$\csc x=\frac{1}{\sin x}$

Poiché il seno di un angolo è nullo quando l'angolo è pari a $k\pi$ ($k$ intero), la cosecante è definita sul dominio dei reali privati dei multipli interi di $\pi$. In conseguenza di ciò, il grafico della funzione cosecante ha asintoti verticali per $x=k\pi$.

In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto: se tale cateto è unitario, la cosecante dell'angolo corrisponde all'ipotenusa del triangolo.

Caratteristiche

Periodo

La cosecante è una funzione periodica con periodo $2\pi$, formalmente:

$\csc x=\csc (x+2k\pi ),k\in \mathbb{Z}$.

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che $\csc x=\frac{1}{\mathrm{sen}x}$:

$x$ in radianti	0	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{5}{12}\pi$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$x$ in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\csc (x)$	$\nexists$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$1$	$\nexists$	$-1$	$\nexists$

Derivata

La derivata prima della cosecante si ottiene ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente:

$\frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}\frac{1}{\sin x}=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}=-\csc x\cdot \cot x$

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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