Continuità assoluta

In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.

Continuità assoluta delle funzioni reali

In matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale è assolutamente continua se per ogni numero positivo $\epsilon$ piccolo a piacere esiste un numero positivo $\delta (\epsilon )$ tale che per ogni successione (finita o infinita) di sotto-intervalli $[x_k,y_k]$ del dominio della funzione tali che

$(x_k,y_k)\cap (x_z,y_z)=\varnothing ,\text{per }k\ne z,$

che verificano

$\sum _k(y_k-x_k)<\delta ,$

si ha

$\sum _k|f(y_k)-f(x_k)|<\epsilon .$

Ogni funzione assolutamente continua risulta a variazione limitata e uniformemente continua e, di conseguenza, continua. Il viceversa non è necessariamente vero: la funzione di Cantor, ad esempio, è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua. Ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua, mentre non è vero il viceversa: $\sqrt{x}$ per $x\in [0,1]$ è assolutamente continua, ma non lipschitziana.

Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue

Template:Vedi anche Dato per ipotesi che una funzione sia a variazione limitata, l'assoluta continuità è condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Una funzione $f$ definita sull'intervallo compatto $[a,b]$ a valori in $ℝ$ è assolutamente continua se possiede una derivata $f^{\prime }$ definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt,\mathrm{\forall }x\in [a,b].$

In modo equivalente, esiste una funzione $g$ su $[a,b]$ integrabile secondo Lebesgue tale che:

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt,\mathrm{\forall }x\in [a,b].$

Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:

$g=f^{\prime }$

quasi ovunque.

Generalizzazioni

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $I\subset ℝ$ un intervallo. Una funzione $f:I\to X$ è assolutamente continua su $I$ se per ogni numero positivo $ϵ$ esiste un numero positivo $\delta$ tale che, se una sequenza finita di sotto-intervalli mutuamente disgiunti $[x_k,y_k]$ di $I$ soddisfa:

$\sum _k|y_k-x_k|<\delta ,$

allora:

$\sum _{k}d(f(y_k),f(x_k))<ϵ.$

L'insieme delle funzioni assolutamente continue da $I$ a $X$ è denotato con $AC(I;X)$.

Un'ulteriore generalizzazione è lo spazio $A{C}^p(I;X)$ delle curve $f:I\to X$ tali che:

$d(f(s),f(t))\le \underset{s}{\overset{t}{\int }}m(\tau )\mathrm{d}\tau ,\mathrm{\forall }[s,t]\subseteq I$

per qualche $m$ nello spazio $L^p(I)$.

Continuità assoluta delle misure

Se $\mu$ e $\nu$ sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura $\mu$ si dice assolutamente continua rispetto a $\nu$ se $\mu (A)=0$ per ogni insieme $A$ per il quale $\nu (A)=0$. Questa situazione viene presentata con la scrittura $\mu \ll \nu$.

In modo equivalente, se $\mu$ è una misura finita, per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che

$|\mu (E)|<\epsilon$

per ogni insieme $E$ della sigma-algebra tale che

$\nu (E)<\delta .$

Proprietà

Se esiste un insieme $B$ tale per cui:

$\mu (E)=\mu (B\cap E)$

per ogni insieme $E$ della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su $B$.

Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se ${\mu }_1$ e ${\mu }_2$ sono mutuamente singolari si scrive ${\mu }_1\perp {\mu }_2$.

Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se $\mu$ e $\nu$ sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive ${\mu }_1\perp {\mu }_2$ tali che:

$\mu ={\mu }_1+{\mu }_2,{\mu }_1\ll \nu ,{\mu }_2\perp \nu .$

La decomposizione:

$\mu ={\mu }_1+{\mu }_2$

è detta decomposizione di Lebesgue di $\mu$ relativamente a $\nu$, ed è unica.

Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione $h\in L^1(\nu )$ tale che:

${\mu }_1(E)=\underset{E}{\int }hd\nu$

per ogni insieme $E$ della sigma-algebra. Il teorema stabilisce, in particolare, che esiste una funzione misurabile $f$ a valori in $[0,+\mathrm{\infty }]$, denotata con:

$f=\frac{d\mu }{d\nu }$

tale che per ogni insieme misurabile $A$ si ha:

$\mu (A)=\underset{A}{\int }fd\nu$

La funzione $f$ si dice derivata di Radon-Nikodym di $\mu$ rispetto $\nu$.

Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure

Una misura $\mu$ sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione:

$F(x)=\mu ((-\mathrm{\infty },x])$

è una funzione reale assolutamente continua.

Bibliografia

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Voci correlate

• Continuità uniforme
• Funzione continua
• Misura (matematica)
• Teorema di Radon-Nikodym
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Collegamenti esterni

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