Distribuzione Beta

Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità e in statistica, la distribuzione $\mathrm{B}$ (Beta) è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri $\alpha$ e $\beta$ sull'intervallo unitario $[0,1]$.

Questa distribuzione nasce in modo molto naturale nella inferenza bayesiana, perché governa la probabilità $p$ di un processo di Bernoulli a posteriori dell'osservazione di $\alpha -1$ "successi" e $\beta -1$ "fallimenti", quando $p$ è a priori distribuita uniformemente tra $0$ e $1$.

Definizione

La distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$ (entrambi positivi) è definita sull'intervallo $[0,1]$ con funzione di densità di probabilità

$f(x)=\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$.

In altri termini la funzione di densità di probabilità è proporzionale alla funzione

$x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$,

riscalata per un fattore dato dalla funzione Beta

$\mathrm{B}(\alpha ,\beta )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx$;

in questo modo ha probabilità totale $P(X\in [0,1])=1$.

La sua funzione di ripartizione è la funzione Beta incompleta regolarizzata

$F(x)=I_x(\alpha ,\beta )=\frac{{\mathrm{B}}_x(\alpha ,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt}$.

Caratteristiche

I momenti semplici di una variabile aleatoria $X$ con distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$ sono

${\mu }_k=E[X^k]=\frac{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha +k-1}(1-x{)}^{\beta -1}dx}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx}=\frac{\mathrm{B}(\alpha +k,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=\frac{(\alpha {)}_k}{(\alpha +\beta {)}_k}$,

dove $x_k$ indica il fattoriale crescente con k fattori, $(x{)}_k=x(x+1)\cdots (x+k-1)$. (L'ultima uguaglianza può essere dedotta dall'espressione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma, $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )=\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )/\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )$ e dalla proprietà $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$.)

I momenti semplici soddisfano quindi la relazione ricorsiva

${\mu }_{k+1}=\frac{\alpha +k}{\alpha +\beta +k}{\mu }_k$.

In particolare, la distribuzione ha:

• valore atteso $E[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$;
• varianza $\text{Var}(X)=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$;
• indice di asimmetria ${\gamma }_1=2\frac{\beta -\alpha }{\alpha +\beta +2}\sqrt{\frac{\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}$;
• indice di curtosi ${\gamma }_2=6\frac{{\alpha }^3-2{\alpha }^2\beta -2\alpha {\beta }^2+{\beta }^3+{\alpha }^2-4\alpha \beta +{\beta }^2}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}$.

Invertendo le relazioni qui sopra, che forniscono il valore atteso e la varianza in funzione dei parametri $\alpha$ e $\beta$, possiamo esprimere univocamente i suddetti parametri in termini del valore atteso e della varianza:

$\alpha =E[X](\frac{E[X](1-E[X])}{\text{Var}(X)}-1)$;

$\beta =(1-E[X])(\frac{E[X](1-E[X])}{\text{Var}(X)}-1)$.

Queste formule vengono applicate nel metodo dei momenti, con la media e la varianza osservate su un campione.

L'entropia è

$H(X)=\log \mathrm{B}(\alpha ,\beta )-(\alpha -1)ϝ(\alpha )-(\beta -1)ϝ(\beta )+(\alpha +\beta -2)ϝ(\alpha +\beta )$,

dove $ϝ$ è la funzione digamma.

La moda della distribuzione dipende dai segni di $\alpha -1$ e $\beta -1$, ed è unica solo se almeno uno dei due è positivo:

se $\alpha >1$ e $\beta >1$ allora la moda è $\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}$;

se $\alpha >1$ (o $\alpha =1$) e $\beta <1$ allora la moda è 1;

se $\beta >1$ (o $\beta =1$) e $\alpha <1$ allora la moda è 0.

(La funzione di densità di probabilità ha un asintoto in 0 se $\alpha <1$, in 1 se $\beta <1$.)

Relazioni con altre distribuzioni

Una distribuzione Beta può essere definita su un qualunque intervallo $[a,b]$, costruendo una nuova variabile casuale $Y=a+(b-a)X$.

Se $X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$ allora $1-X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(\beta ,\alpha )$.

• La distribuzione Beta di parametri $(1,1)$ corrisponde alla distribuzione continua uniforme $𝒰([0,1])$ sull'intervallo unitario.

• La distribuzione di Dirichlet è una generalizzazione della distribuzione Beta: essa descrive la distribuzione a posteriori dei parametri di una distribuzione multinomiale a posteriori, appunto, di un'osservazione. La distribuzione di Dirichlet con due parametri è esattamente la distribuzione Beta.

• Per $\alpha =\beta =\frac{3}{2}$ la densità di probabilità del tipo Beta $f(x)=\sqrt{x(1-x)}$ è, in termini geometrici, la metà superiore di una circonferenza: $(2f(x){)}^2+(2x-1{)}^2=1$, descrive un semicerchio. La variabile aleatoria $Y=r(2X-1)$ segue una distribuzione di Wigner di parametro r.

• Se $X$ e $Y$ sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni Gamma di rispettivi parametri $(\alpha ,\theta )$ e $(\beta ,\theta )$, allora la variabile aleatoria $\frac{X}{X+Y}$ segue la distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$.

• Se la variabile aleatoria $X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$ allora la variabile aleatoria $T=\frac{X}{1-X}$ è descritta dalla distribuzione Beta del secondo tipo, che ha funzione di densità di probabilità

$f(t)=\frac{x^{\alpha -1}/(1-x{)}^{\alpha +\beta }}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$

• La distribuzione di Wilks $\mathrm{\Lambda }(p,m,n)$ può essere interpretata come la distribuzione che governa il prodotto $X_1\cdots X_n$ di n variabili aleatorie indipendenti $X_1,...,X_n$ con rispettivi parametri $(\frac{m+1-p}{2},\frac{p}{2}),...,(\frac{m+n-p}{2},\frac{p}{2})$.

• Se $Y$ è una variabile aleatoria con distribuzione di Kumaraswamy di parametri $(a,b)$ allora $X=Y^a$ segue la distribuzione Beta di parametri $(1,b)$.

Inferenza bayesiana

La distribuzione Beta e il processo di Bernoulli

E' immediato dimostrare che, se X è distribuita come una v.c. binomiale con parametri n e π

$f(x|\pi )=Binom(x|n;\pi )$

e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

$g(\pi )=Beta(\pi |a;b)$

allora il parametro π è distribuito a posteriori, anch'esso, come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

$g(\pi |x)=Beta(\pi |a+x;b+n-x)$

Come detto in precedenza, qualora il parametro π sia distribuito a priori come una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori del parametro π è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

$g(\pi |x)=(n+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}){\pi }^x(1-\pi {)}^{n-x}$

essa ha come valore modale p

$p=\frac{x}{n}$, che corrisponde alla stima usata in ambito frequentistico, mentre il valore atteso o media, è

$p=\frac{x+1}{n+2}$, che per x<n/2 è maggiore del valore modale $\frac{x}{n}$. Il valore atteso minimizza lo scarto quadratico.

Infatti, la probabilità di ottenere $\alpha -1$ successi e $\beta -1$ fallimenti in un processo di Bernoulli di parametro p è $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta -2}{\alpha -1})p^{\alpha -1}(1-p{)}^{\beta -1}$, proporzionale alla densità $f(p)$ della distribuzione Beta di parametri $(\alpha ,\beta )$.

Pertanto, come detto sopra, se la variabile aleatoria $S$ segue una distribuzione binomiale $ℬ(P,\alpha +\beta -2)$ con parametro aleatorio P distribuito a priori uniformemente sull'intervallo unitario $[0,1]$, a posteriori dell'osservazione $S=\alpha -1$ il parametro P segue la distribuzione $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )$.

Più in generale, se $S$ è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale $ℬ(P,n)$ e il parametro P segue a priori la distribuzione $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )$, allora a posteriori dell'osservazione $S=s$ il parametro P segue la distribuzione $\mathrm{B}(\alpha +s,\beta +n-s)$.

Il caso della distribuzione uniforme a priori è un caso particolare di quest'ultimo, essendo $\mathrm{B}(1,1)=𝒰(0,1)$.

Priori coniugate e la v.c. binomiale negativa

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ

$f(x|\theta )=BinNeg(x|m;\theta )$

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

$g(\theta )=Beta(\theta |a;b)$

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

$g(\theta |x)=Beta(\theta |a+m;b+x)$

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t

t=m/(m+x)

Similmente, se la variabile aleatoria $T$ segue la distribuzione di Pascal $𝒩ℬ(P,n)$ e P segue a priori la distribuzione $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )$, allora a posteriori dell'osservazione $T=t$ il parametro P segue la distribuzione $\mathrm{B}(\alpha +n,\beta +t)$.

Voci correlate

• Distribuzione binomiale
• Funzione Beta
• Processo di Bernoulli
• Statistica bayesiana

Collegamenti esterni

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