Equazione ipergeometrica confluente

In matematica, l'equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kummer, da Ernst Kummer, è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann facendo confluire due singolarità in un solo punto; è strettamente legata con l'equazione ipergeometrica e le sue soluzioni, le funzioni ipergeometriche. Ciascuna delle soluzioni dell'equazione ipergeometrica confluente è analogamente chiamata funzione ipergeometrica confluente.

Si individuano in particolare due soluzioni indipendenti, fornite da serie ipergeometriche: la prima è denotata con $M(a,b,z)$ e viene detta funzione ipergeometrica di Kummer, mentre la seconda è denotata con $U(a,b,z)$ e chiamata funzione di Whittaker, in riferimento a Edmund Taylor Whittaker, oppure anche funzione ipergeometrica confluente di Tricomi (da Francesco Tricomi) o funzione ipergeometrica di Gordon-Tricomi. Da notare che per funzione di Kummer si intende invece una funzione speciale non collegata alle precedenti.

L'equazione

L'equazione ipergeometrica confluente ha la forma:

$z\frac{d^2}{d{z}^2}w(z)+(b-z)\frac{d}{dz}w(z)-aw(z)=0$

dove $a$, $b$ e $z$ sono variabili complesse (o variabili formali); in genere $a$ e $b$ sono considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni (e di funzioni di $z$ loro soluzioni).

La funzione ipergeometrica di Kummer è data dalla serie ipergeometrica generalizzata:

$M(a,b,z)=1+\frac{a}{b}z+\frac{a(a+1)}{b(b+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_n{z}^n}{(b{)}_{n}n!}={}_1{F}_1(a;b;z)$

dove:

$a^{(0)}=1,$

$a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)$

è il fattoriale crescente. Le funzioni di Bessel, la funzione gamma incompleta, i polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre sono casi particolari della funzione ipergeometrica di Kummer.

La funzione di Whittaker (funzione ipergeometrica confluente di Tricomi) è data da:

$U(a,b,z)=\frac{\pi }{\sin \pi b}[\frac{M(a,b,z)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(b)}-z^{1-b}\frac{M(1+a-b,2-b,z)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(2-b)}]$

Esiste una notazione alternativa per $U(a,b,z)=z^{-a}{}_2{F}_0(a,1+a-b;;-1/z)$ (si veda il testo di Abramowitz e Stegun).

Casi particolari

Vi sono molte funzioni speciali che possono essere espresse come caso speciale della funzione ipergeometrica confluente:

• Alcune funzioni elementari, come ad esempio:

$M(0,b,z)=1U(0,c,z)=1M(b,b,z)=\exp (z)U(a,a+1,z)=z^{-a}$

e anche:

$U(a,a,z)=\exp (z)\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{-a}\exp (-u)du$

che è un polinomio per $a$ intero non positivo, oppure:

$\frac{U(1,b,z)}{\mathrm{\Gamma }(b-1)}+\frac{M(1,b,z)}{\mathrm{\Gamma }(b)}=z^{1-b}\exp (z)$

mentre $U(-n,-2n,z)$ è un polinomio di Bessel per $n$ intero e $M(n,b,z)$ è il polinomio generalizzato di Laguerre per $n$ intero non-positivo.

• La funzione di Bateman
• Le funzioni di Bessel ed altre funzioni correlate, come le funzioni di Airy, le funzioni di Kelvin e le funzioni di Hankel.
• La funzione degli errori può essere scritta come:

$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt=\frac{2x}{\sqrt{\pi }}{}_1{F}_1(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2)$

• La funzione integrale esponenziale, il seno integrale e il logaritmo integrale.
• I polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre
• La funzione gamma incompleta
• La funzione parabolica del cilindro
• Le funzioni di Whittaker $M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)$ e $W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)$ sono soluzioni dell'omonima equazione, che può essere scritta attraverso le funzioni di Kummer $M$ e $U$ come:

$M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}M(\mu -\kappa +\frac{1}{2},1+2\mu ;z)$

$W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}U(\mu -\kappa +\frac{1}{2},1+2\mu ;z)$

Rappresentazioni integrali

Se $\mathrm{\Re }(b)>\mathrm{\Re }(a)>0$, allora $M(a,b,z)$ può essere rappresentato con forma di integrale:

$M(a,b,z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b-a)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{zu}{u}^{a-1}(1-u{)}^{b-a-1}du$

dove $M(a,a+b,it)$ è la funzione caratteristica della distribuzione Beta. Per $a$ con parte positiva reale, $U$ può essere ottenuto dalla trasformata di Laplace:

$U(a,b,z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-zt}{t}^{a-1}(1+t{)}^{b-a-1}dt\mathrm{\Re }(a)>0)$

L'integrale definisce una soluzione nella parte destra del semipiano $\mathrm{\Re }(z)>0$.

Polinomi di Laguerre

La funzione di Kummer può essere espressa in diversi modi come sviluppo in polinomi di Laguerre, ad esempio:

$M(a,b,\frac{xy}{x-1})=(1-x{)}^a\cdot \sum _n\frac{a^{(n)}}{b^{(n)}}{L}_n^{(b-1)}(y)x^n$

Teorema di moltiplicazione

Valgono i seguenti teoremi di moltiplicazione:

$\begin{array}{cc}U(a,b,z)& =e^{(1-t)z}\sum _{i=0}\frac{(t-1{)}^i{z}^i}{i!}U(a,b+i,zt)=\\ & =e^{(1-t)z}{t}^{b-1}\sum _{i=0}\frac{{(1-\frac{1}{t})}^i}{i!}U(a-i,b-i,zt)\end{array}$

Bibliografia

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• Template:EnZwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 123-124, 1997.

Voci correlate

• Equazione di Papperitz-Riemann
• Funzioni di Bessel
• Funzioni di Whittaker
• Funzione gamma incompleta
• Polinomi di Hermite
• Polinomi di Laguerre
• Serie ipergeometrica

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:EnKummer hypergeometric function su Wolfram Functions site
• Template:EnTricomi hypergeometric function su Wolfram Functions site