Polinomi di Laguerre

In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Essi si possono definire con un'espressione alla Rodrigues

$L_n(x):=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^n\right),\text{per}n=0,1,2,3,\dots$

Essi sono polinomi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto interno espresso da

$⟨f,g⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)e^{-x}dx.$

La successione dei polinomi di Laguerre è una sequenza di Sheffer.

Polinomi dei gradi più bassi

I primi polinomi sono:

$L_0(x)=1,$

$L_1(x)=-x+1,$

$L_2(x)=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1,$

$L_3(x)=\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6).$

Come integrale di contorno

Questi polinomi possono essere espressi mediante un integrale di contorno dipendente da $n$

$L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{e^{-(xt)/(1-t)}}{(1-t)t^{n+1}}dt$

relativo a un contorno che compie un giro in verso antiorario intorno all'origine.

Polinomi di Laguerre generalizzati

La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se $X$ è una variabile casuale con distribuzione esponenziale

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-x},& \text{se }x>0,\\ 0,& \text{se }x<0,\end{array}$

allora

$E(L_n(X)L_m(X))=0,n\ne m.$

La distribuzione esponenziale non è la sola distribuzione gamma. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}/\mathrm{\Gamma }(\alpha ),& \text{se }x>0,\\ 0,& \text{se }x<0,\end{array}$

(vedi funzione gamma) si ricava dalla definizione dei polinomi generalizzati di Laguerre:

$L_n^{(\alpha )}(x):=\frac{x^{-\alpha }{e}^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x}{x}^{n+\alpha }.$

Questi polinomi talora sono chiamati polinomi associati di Laguerre. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad $\alpha =0$

$L_n^{(0)}(x)=L_n(x).$

I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo $[0,\mathrm{\infty })$ rispetto alla funzione peso $x^{\alpha }{e}^{-x}$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{e}^{-x}{x}^{\alpha }{L}_n^{(\alpha )}(x)L_m^{(\alpha )}(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{n!}{\delta }_{nm}.$

Per valori interi di $\alpha$ la precedente espressione di definizione si può scrivere

$L_n^{(m)}(x)=(-1{)}^m\frac{d^m}{d{x}^m}{L}_{n+m}(x).$

Relazione con i polinomi di Hermite

I polinomi generalizzati di Laguerre si presentano nella trattazione dell'oscillatore armonico quantistico, a causa della loro relazione con i polinomi di Hermite che può essere espressa dalle uguaglianze

$H_{2n}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n}n!L_n^{(-1/2)}(x^2)$

e

$H_{2n+1}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n+1}n!x{L}_n^{(1/2)}(x^2),$

dove $H_n(x)$ denota il polinomio di Hermite di grado $n.$

Relazione con la serie ipergeometrica

I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di funzione ipergeometrica confluente, come

$L_n^a(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+a}{n})M(-n,a+1,x)=\frac{(a+1{)}_n}{n!}{}_1{F}_1(-n,a+1,x),$

dove $(a{)}_n$ denota il simbolo di Pochhammer.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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