Funzione digamma

Template:S In matematica, per funzione digamma si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica della funzione gamma:

${\psi }_0(x):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

La funzione digamma talora viene anche denotata con $\mathrm{\Psi }(x)$ e talora anche ${\psi }^0(x)$. Essa è collegata ai numeri armonici dalla uguaglianza

${\psi }_0(n)=H_{n-1}-\gamma$

dove $H_{n-1}$ denota l'$(n-1)$-esimo numero armonico e $\gamma$ è la ben nota costante di Eulero-Mascheroni. Tale relazione si dimostra dalla definizione alternativa di Gauss della funzione gamma

$\mathrm{\Gamma }\left(s\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^s}{s(s+1)(s+2)\dots (s+n)},$

da cui

$\psi \left(s\right)=\frac{d}{ds}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln n!+s\ln n-\ln s-\ln (s+1)-\ln (s+2)-\dots -\ln (s+n))$

$\psi \left(s\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln n-\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}-\dots -\frac{1}{s+n})$

$\psi \left(s\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln n-\sum _{k=1}^{s+n}\left(\frac{1}{k}\right)+1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{s-1})$

$\psi \left(s\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln n-\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}\right))+1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{s-1}$

$\psi \left(s\right)=-\gamma +H_{s-1}.$

Invece, se l'argomento della funzione digamma non è un numero intero positivo, ma è un generico numero complesso $z$, si dimostra che

${\psi }_0(z)=\psi \left(z\right)=-\gamma -\frac{1}{z}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{k}).$

Bibliografia

• Template:De N. Nielsen Handbuch der Theorie der Gammafunktion (Teubner, 1906) p. 15
• Template:En T. M. MacRobert Functions of a Complex Variable (McMillan, 1917) p. 161
• Template:En M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 258

Voci correlate

• Funzione G di Erdelyi
• Funzione gamma
• Funzione poligamma
• Numero armonico

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Polygamma function in functions.wolfram.com