Potenziale scalare magnetico

Il potenziale scalare magnetico di due magneti permanenti cilindrici visualizzato dai colori: valore positivo (magenta), nullo (giallo) e negativo (ciano)

Il potenziale scalare magnetico è una grandezza fisica che caratterizza i campi magnetici conservativi, ovvero che siano invarianti nel tempo (campo magnetostatico) e che nella regione di spazio considerata non siano presenti e sia lontana da cariche libere in moto. Queste condizioni consentono di definire un potenziale scalare magnetico $V_m$ in modo analogo alla definizione del potenziale elettrico rispetto al campo elettrico.

Quando il campo magnetico è conservativo allora le proprietà dei circuiti elettrici sono totalmente sovrapponibili a quelle dei circuiti magnetici e per quali è possibile definire la tensione magnetica come differenza di potenziale scalare magnetico.

Definizione

Nell'elettromagnetismo classico i fenomeni fisici che generano campi magnetici sono tra loro in relazione attraverso la legge di Ampère-Maxwell:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_f+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$

Se il campo magnetico $𝐇$ è invariante nel tempo (campo magnetostatico) allora $\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_f$ di conseguenza definita una regione limitata di spazio lontana da cariche libere in moto e in cui la densità di corrente delle cariche libere (correnti non legate ai fenomeni di polarizzazione elettrica e magnetica) è nulla ${𝐉}_f=0$ si ha che $\mathrm{\nabla }\times 𝐇=0$. Siccome il campo magnetico così definito è irrotazionale, ovvero ha rotore nullo, e la regione di spazio considerata è semplicemente connessa allora il campo magnetico $𝐇$ è un campo vettoriale conservativo ed è possibile associargli un potenziale scalare. Il potenziale scalare magnetico $V_m$ allora è per definizione legato al campo magnetico dalla relazione:

$𝐇=-\mathrm{\nabla }{V}_m$

Nel sistema internazionale di unità di misura il potenziale scalare magnetico è misurato in ampere, simbolo $\mathrm{A}$, mentre storicamente era misurato in amperspira, simbolo $\mathrm{A}\mathrm{s}$ o $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{p}$, ovvero il prodotto tra l'intensità di corrente e le spire attraversate.

Magnetostatica

Potenziale scalare magnetico di un circuito

Considerato un circuito elettrico filiforme chiuso di percorso $\gamma$ posto in una regione di spazio lontana da cariche libere in moto in cui scorre una corrente elettrica continua di intensità $I$ allora il campo magnetostatico $𝐁$ generato dal circuito è conservativo e legato al potenziale scalare magnetico dall'equazione differenziale:

$𝐁=-{\mu }_0\mathrm{\nabla }{V}_m$

Definito un vettore posizione $𝐫$ di modulo $\mathrm{r}$ che indica la posizione del campo magnetico $𝐁$ da calcolare rispetto a un sistema di riferimento cartesiano, un vettore spostamento elementare $\mathrm{d}𝐬$, una corrente elettrica lungo il filo di intensità $I$ allora per la legge di Biot-Savart il campo magnetico generato dal circuito chiuso $\gamma$ è:

$𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{\gamma }\frac{I\mathrm{d}𝐬\times 𝐫}{{\mathrm{r}}^3}$

Considerata la definizione di gradiente $\mathrm{d}{V}_m=\mathrm{\nabla }{V}_m\cdot \mathrm{d}𝐫$ allora sostituendo nella legge trovata precedentemente si ha che:

$\mathrm{d}{V}_m=-\frac{I}{4\pi }{\oint }_{\gamma }\frac{\mathrm{d}𝐬\times 𝐫}{{\mathrm{r}}^3}\cdot \mathrm{d}𝐫$

Considerato l'angolo solido $\mathrm{\Omega }$ sotteso dal circuito allora:

$V_m=-\frac{I}{4\pi }\mathrm{\Omega }$

Potenziale scalare magnetico di un corpo magnetizzato

Considerato un corpo magnetizzato a cui è associato un vettore di polarizzazione magnetica $𝐌$ e un campo magnetico di induzione $𝐁$ allora il campo magnetico complessivo $𝐇$ è:

$𝐇=\frac{𝐁}{{\mu }_0}-𝐌$

Siccome per la legge di Gauss magnetica $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ allora la divergenza del campo magnetico di un corpo magnetizzato è $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐇=-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐌$. Se il campo è magnetostatico allora $𝐇=-\mathrm{\nabla }{V}_m$ quindi sostituendo nella relazione precedente si trova che ${\mathrm{\nabla }}^2{V}_m=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐌$. Definito il vettore posizione $𝐫$ e il volume del corpo magnetizzato $\tau$ allora tramite la funzione di Green del laplaciano in tre dimensioni è possibile ottenere che:

$V_m=-\frac{1}{4\pi }\underset{\tau }{\int }\frac{𝐌\cdot 𝐫}{{\mathrm{r}}^3}\cdot \mathrm{d}{𝐫}^3$

Bibliografia

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Voci correlate

• Potenziale vettore magnetico
• Campo magnetico