Punto periodico

In matematica, un punto periodico con periodo $n$ di una funzione $f$ è un punto $x_0$ del dominio di $f$ in cui si verifica:

$f^n(x_0)=x_0$

dove $f^n$ è definita ricorsivamente da:

$f^0(x)=x{f}^n(x)=f(f^{n-1}(x))$

Il più piccolo $n$ per cui $x_0$ è un punto periodico è detto periodo primitivo o periodo minimo. Se tutti i punti del dominio di una funzione sono periodici con il medesimo periodo $n$, si sta considerando una funzione periodica di periodo $n$. Un punto fisso è un punto periodico con periodo primitivo 1.

Nello studio dei sistemi dinamici, ogni punto di un'orbita periodica è un punto periodico per l'orbita.

Sistemi dinamici

Un punto periodico di un sistema dinamico è un punto di una traiettoria periodica (chiusa) non costante percorsa dal sistema dinamico. Ovvero, dato un sistema dinamico reale $(ℝ,X,\mathrm{\Phi })$, con $X$ lo spazio delle fasi e $\mathrm{\Phi }:ℝ\times X\to X$ la sua evoluzione, un punto $x\in X$ è periodico con periodo $T$ se:

$\mathrm{\Phi }(t+T,x)=\mathrm{\Phi }(t,x)$

$\mathrm{\Phi }(t+t^{\prime },x)\ne \mathrm{\Phi }(t,x)0<t^{\prime }<T$

Se $x$ è un punto periodico il relativo insieme limite coincide con la traiettoria periodica alla quale $x$ appartiene.

Punti iperbolici

Se $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ è una funzione differenziabile, un punto fisso $x$ è detto iperbolico se la matrice jacobiana di $f$ in $x$ non ha autovalori di modulo 0 o 1. Un punto periodico di periodo $n$ è detto punto periodico iperbolico se è un punto fisso iperbolico per $f$.

Se ogni autovalore $\lambda$ della jacobiana di $f$ calcolata in un punto periodico iperbolico $x$ soddisfa $0<|\lambda |<1$ allora $x$ è detto "pozzo" o attrattore; se ogni autovalore $\lambda$ della jacobiana di $f$ in $x$ soddisfa $|\lambda |>1$ allora $x$ è chiamato "sorgente", altrimenti è un punto di sella.

Bibliografia

• Template:En L. Markus, Lectures in differentiable dynamics , Amer. Math. Soc. (1980) pp. Appendix II MR0309152 Zbl 0214.50701
• Template:En D.A. Neumann, "Existence of periodic orbits on 2-manifolds" J. Differential Eq. , 27 (1987) pp. 313–319 MR0482857 Zbl 0337.34041
• Template:En P.H. Rabinowitz; A. Ambrosetti; I. Ekeland; E.J. Zehnder, Periodic solutions of Hamiltonian systems and related topics , Proc. NATO Adv. Res. Workshop, 1986 , Reidel (1987)

Voci correlate

• Ciclo limite
• Orbita (matematica)
• Funzione periodica
• Punto fisso
• Sistema dinamico
• Teorema di Sharkovsky

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni