Vettore di Witt

Template:O In matematica un Vettore di Witt è una sequenza infinita di elementi di un anello commutativo. Ernst Witt ha mostrato come mettere una struttura ad anello sull'insieme di vettori di Witt in modo tale che l'anello dei vettori di Witt $W({𝔽}_p)$ su di un campo finito di ordine p primo è isomorfo all'anello di interi p-adici ${\mathbb{Z}}_p$. Hanno una struttura altamente non intuitiva poiché la loro struttura additiva e moltiplicativa dipendono da un insieme infinito di formule ricorsive che non si comportano come le formule di addizione e moltiplicazione degli interi p-adici.

L'idea principale dietro ai vettori di Witt è, invece di utilizzare l'espansione p-adica standard

$a=a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots$

,

quella di rappresentare un elemento in

${\mathbb{Z}}_p$

usando un carattere di Teichmüller;

$\omega :{𝔽}_p^{*}\to {\mathbb{Z}}_p^{*}$

,

che manda ogni elemento nell'insieme di soluzioni di

$x^{p-1}-1$

in

${𝔽}_p$

ad un elemento nell'insieme di soluzioni di

$x^{p-1}-1$

in

${\mathbb{Z}}_p$

. Ogni elemento in

${\mathbb{Z}}_p$

può quindi essere ampliato in termini di radici dell'unità invece che come elementi profiniti in

$\prod {𝔽}_p$

. Ciò significa che un intero p-adico può essere espresso come somma infinita

$\omega (a)=\omega (a_0)+\omega (a_1)p+\omega (a_2)p^2+\cdots$

,

che fornisce un vettore di Witt

$(\omega (a_0),\omega (a_1),\omega (a_2),\dots )$

.

La struttura additiva e moltiplicativa non banale nei vettori di Witt sorge quindi dall'usare questa mappa per dare a

$W({𝔽}_p)$

una struttura additiva e moltiplicativa tale che

$\omega$

induce un omomorfismo di anelli commutativi.

Storia

Nel XIX secolo Ernst Eduard Kummer studiò estensioni cicliche di campi come parte del suo lavoro sull'Ultimo Teorema di Fermat, e questo portò alla creazione della teoria di Kummer. Sia $k$ un campo contenente una $n$-esima radice dell'unità primitiva. La teoria di Kummer classifica estensioni di campi cicliche $K$ di $k$ di grado $n$, che sono in corrispondenza biunivoca con gruppi ciclici $\mathrm{\Delta }\subseteq k^{\times }/(k^{\times }{)}^n$ di ordine $n$ , dove $\mathrm{\Delta }$ corrisponde a $K=k(\sqrt[n]{\mathrm{\Delta }})$.

Supponiamo però che $k$ ha caratteristica $p$. Il problema di studiare estensioni di $k$ di grado $p$ (o più in generale estensioni di grado $p^n$) può apparire superficialmente simile alla teoria di Kummer. Ma in questa situazione $k$ non può contenere una $p$-esima radice dell'unità primitiva. Se $x$ è una $p$-esima radice dell'unità in $k$ soddisfa la relazione $x^p=1$, ma considerando l'espressione $(x-1{)}^p=0$ ed espandendo utilizzando i coefficienti binomiali, l'operazione di elevazione alla potenza $p$ (conosciuta anche come omomorfismo di Frobenius) introduce un fattore $p$ ad ogni coefficiente eccetto il primo e l'ultimo, e quindi queste equazioni sono uguali modulo $p$, rendendo quindi $x=1$. La teoria di Kummer è conseguentemente mai applicabile alle estensioni il cui grado è divisibile dalla sua caratteristica.