Triangolo isoscele

Triangolo isoscele

In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.

Vale il seguente teorema: "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.

In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base.

Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.

I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

Simmetrie

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme $\{1,-1\}$.

Triangoli isosceli in geometria analitica

Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. $y=k$
2. $y=mx$
3. $y=-mx$

ne calcoliamo l'intersezione.

$\{\begin{array}{cc}& y=k\\ & y=mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=\frac{k}{m}\\ & y=k\end{array}$

$A(\frac{k}{m},k)$

$\{\begin{array}{cc}& y=k\\ & y=-mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=-\frac{k}{m}\\ & y=k\end{array}$

$B(-\frac{k}{m},k)$

$\{\begin{array}{cc}& y=mx\\ & y=-mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=0\\ & y=0\end{array}$

$\mathrm{C}(0,0)$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti $AC$ e $BC$.

$AC=\sqrt{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+k^2}$

$BC=\sqrt{{(-\frac{k}{m})}^2+k^2}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base $AB$. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse $y$.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.

Dati i due punti:

1. $\mathrm{A}(x_1,k)$
2. $\mathrm{B}(x_2,k)$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.

$M(\frac{x_1+x_2}{2},k)$

Quindi troviamo $C$, che avrà la stessa ascissa di $M$ e diversa ordinata.

$C(\frac{x_1+x_2}{2},h)$

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

$AC=\sqrt{{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)}^2+(k-h{)}^2}$

$BC=\sqrt{{\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)}^2+(k-h{)}^2}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

$mAC=(h-k)\cdot \left(\frac{2}{x_2-x_1}\right)=\frac{2(h-k)}{x_2-x_1}$

$mBC=(h-k)\cdot \left(\frac{2}{x_1-x_2}\right)=\frac{2(h-k)}{x_1-x_2}$

Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. $y=x+q$
2. $y=mx$
3. $y=\frac{1}{m}x$

ne calcoliamo l'intersezione.

$\{\begin{array}{cc}& y=x+q\\ & y=mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x(m-1)=q\\ & y=mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=\frac{q}{m-1}\\ & y=\frac{mq}{m-1}\end{array}$

$A(\frac{q}{m-1},\frac{mq}{m-1})$

$\{\begin{array}{cc}& y=x+q\\ & y=\frac{1}{m}x\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x(1-m)=mq\\ & y=\frac{1}{m}x\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=\frac{mq}{1-m}\\ & y=\frac{q}{1-m}\end{array}$

$B(\frac{mq}{1-m},\frac{q}{1-m})$

$\{\begin{array}{cc}& y=\frac{1}{m}x\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=0\\ & y=0\end{array}$

$\mathrm{C}(0,0)$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti $AC$ e $BC$.

$AC=\sqrt{{\left(\frac{q}{m-1}\right)}^2+{\left(\frac{mq}{m-1}\right)}^2}$

$BC=\sqrt{{\left(\frac{mq}{1-m}\right)}^2+{\left(\frac{q}{1-m}\right)}^2}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base $AB$. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse $y$.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).

Dati i due punti:

1. $\mathrm{A}(0,q)$
2. $\mathrm{B}(-q,0)$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.

$M(-\frac{q}{2},\frac{q}{2})$

Quindi troviamo $C$, che si trova sulla retta di equazione $y=-x$ perpendicolare alla base e passante per $M$.

$C(h,-h)$

dove $h$ è un numero reale arbitrario diverso da $0$.

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

$AC=\sqrt{h^2+(q+h{)}^2}$

$BC=\sqrt{(-q-h{)}^2+h^2}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

$mAC=\frac{-h-q}{h}=-\frac{h+q}{h}$

$mBC=\frac{-h}{h+q}=-\frac{h}{h+q}$

Voci correlate

• Triangolo
• Triangolo equilatero
• Triangolo aureo
• Triangolo scaleno
• Teorema diretto dei triangoli isosceli

Collegamenti esterni

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