Coefficiente angolare

In geometria analitica il coefficiente angolare, o informalmente pendenza, di una retta nel piano cartesiano è un numero che descrive la direzione e la "ripidezza" della retta.^[1] Spesso indicato con $m$ , stabilisce insieme all'intercetta delle ordinate $q$ una e una sola retta nel piano cartesiano, mediante la formula:

y = m x + q .

Definizione

Il coefficiente angolare di una retta non verticale è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta. Per una retta verticale, il coefficiente angolare non è definito in quanto la definizione comporterebbe una divisione per zero.

Partendo dai coefficienti dell'equazione generale di una retta, $a x + b y + c = 0$ , se $b \neq 0$ (retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto

m = - \frac{a}{b} .

Infatti, ponendo $q = - \frac{c}{b}$ , la retta (non verticale) si esprime mediante l'equazione $y = m x + q$ . Allora siano $(x_{1}, y_{1})$ e $(x_{2}, y_{2})$ due punti distinti della retta:

{\begin{matrix} y_{1} = m x_{1} + q \\ y_{2} = m x_{2} + q \end{matrix} \Rightarrow q = y_{1} - m x_{1} = y_{2} - m x_{2} \Rightarrow m (x_{1} - x_{2}) = (y_{1} - y_{2}) \Rightarrow m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{Δ y}{Δ x} .

Proprietà

Due rette non verticali sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Il coefficiente angolare di una retta passante per l'origine è la tangente goniometrica dell'angolo $α$ (con segno positivo) formato dal semiasse positivo delle ascisse e la parte di retta giacente nel semipiano superiore (ossia il semipiano corrispondente ai punti di ordinata positiva): la retta infatti passa per il punto di coordinate $(x_{1}, y_{1}) = (\cos α, \sin α)$ (tale punto è l'intersezione della retta con la circonferenza goniometrica), quindi

m = \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{\sin α}{\cos α} = \tan α .

Poiché due rette in forma generale, $a x + b y + c = 0$ e $a^{'} x + b^{'} y + c^{'} = 0$ , sono perpendicolari esattamente quando $a a^{'} + b b^{'} = 0$ , ne segue che due rette (non verticali) $y = m x + q$ e $y = m^{'} x + q^{'}$ sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è

m m^{'} = - 1 .

Questa condizione può essere riscritta come $m^{'} = - \frac{1}{m}$ , ed espressa dicendo che $m^{'}$ è lTemplate:'antireciproco (opposto del reciproco) di $m$ .