Topologia finale

In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia finale o topologia forte su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni è la topologia più fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.

La struttura duale alla topologia finale è detta topologia iniziale.

Definizione

Dato un insieme $X$ e una famiglia di spazi topologici $Y_i$ in cui sono definite le funzioni $f_i:Y_i\to X$, la topologia finale $\tau$ su $X$ è la topologia più fine tale per cui ogni funzione:

$f_i:Y_i\to (X,\tau )$

è continua.

Esplicitamente, nella topologia finale un insieme $U\subset X$ è aperto se e solo se $f_i^{-1}(U)$ è aperto in $Y_i$ per ogni indice $i$.

Proprietà

Characteristic property of the final topology

Un sottoinsieme di $X$ è aperto o chiuso se e solo se la preimmagine relativa a $f_i$ è rispettivamente aperta o chiusa in $Y_i$ per ogni indice $i$.

La topologia finale su $X$ può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione $g:X\to Z$ è continua se e solo se $g\circ f_i$ è continua per ogni indice $i$. Dalle proprietà della topologia naturale definita sull'unione disgiunta degli insiemi di una famiglia di spazi topologici segue che, data una qualsiasi famiglia di funzioni continue $f_i:Y_i\to X$, esiste un'unica funzione continua:

$f:\coprod _i{Y}_i\to X$

Se la famiglia di funzioni $f_i$ ricopre $X$ (ovvero ogni $x\in X$ è nell'immagine di qualche $f_i$) allora $f$ è una mappa quoziente se e solo se $X$ possiede la topologia finale determinata dalle mappe $f_i$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Relazione di finezza
• Topologia
• Topologia di sottospazio
• Topologia iniziale
• Topologia operatoriale
• Topologia quoziente

Collegamenti esterni

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