Topologia iniziale

In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia iniziale su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni definite sull'insieme, anche detta topologia debole, topologia limite o topologia proiettiva, è la topologia meno fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.

Negli spazi vettoriali topologici, come gli spazi normati, solitamente la topologia iniziale è detta "topologia debole", e si tratta della topologia iniziale rispetto ai funzionali dello spazio duale.

La topologia di sottospazio e la topologia prodotto sono casi speciali di topologie iniziali. La struttura duale alla topologia iniziale è detta topologia finale.

Definizione

Sia dato un insieme $X$ ed una famiglia $(Y_i{)}_{i\in I}$ di spazi topologici. Si consideri una famiglia di funzioni $f_i:X\to Y_i$ che ha per dominio l'insieme $X$. Si definisce topologia iniziale $\tau$ su $X$ rispetto alla famiglia di funzioni la topologia meno fine tale per cui le funzioni $f_i:(X,\tau )\to Y_i$ sono continue.

La topologia iniziale può essere vista come la topologia generata dagli insiemi della forma $f_i^{-1}(U)$, dove $U$ è un insieme aperto di $Y_i$.

Proprietà

Characteristic property of the initial topology

La topologia iniziale su $X$ può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione $g:Z\to X$ è continua se e solo se $f_i\circ g$ è continua per ogni $i\in I$.

Per la proprietà della topologia prodotto ogni famiglia di funzioni continue $f_i:X\to Y_i$ definisce un'unica mappa:

$f:X\to \prod _i{Y}_i$

detta in inglese evaluation map. Si dice che una famiglia di funzioni $\{f_i:X\to Y_i\}$ separa i punti in $X$ se per ogni $x\ne y\in X$ esiste un indice i tale che $f_i(x)\ne f_i(y)$. Questo avviene se e solo se $f$ è iniettiva. La funzione $f$ è un'immersione topologica se e solo se $X$ ha la topologia iniziale definita dalle funzioni $\{f_i\}$, e tale famiglia di mappe separa i punti in $X$.

Se in uno spazio $X$ è definita una topologia è spesso utile sapere se si tratta della topologia iniziale indotta da qualche famiglia di funzioni su $X$. Una famiglia di funzioni $\{f_i:X\to Y_i\}$ separa i punti dai chiusi in $X$ se per ogni insieme chiuso $A\subset X$ e per ogni $x$ che non appartiene ad $A$ esiste un indice i tale per cui:

$f_i(x)\notin \mathrm{cl}(f_i(A))$

dove $\mathrm{cl}$ è l'operatore di chiusura.

In particolare, si dimostra che una famiglia di mappe continue $\{f_i:X\to Y_i\}$ separa i punti dai chiusi se e solo se gli insiemi $f_i^{-1}(U)$, con $U\subset Y_i$ aperto, formano una base per la topologia su $X$. Segue che se $\{f_i\}$ separano i punti dai chiusi allora lo spazio $X$ ha la topologia iniziale indotta da tali funzioni. La relazione inversa non è valida, poiché in generale gli insiemi $f_i^{-1}(U)$ formano una sottobase per la topologia iniziale.

Se $X$ è uno spazio T0 allora ogni collezione di mappe $\{f_i\}$ che separa i punti dai chiusi in $X$ deve anche separare i punti. In tal caso, l'evaluation map è un'immersione.

Topologia debole in spazi vettoriali topologici

Sia $K$ un campo topologico, ovvero un campo con una topologia tale per cui l'addizione, la divisione e la moltiplicazione sono funzioni continue (nella definizione topologica di continuità). Sia $X$ uno spazio vettoriale topologico su $K$, ovvero uno spazio vettoriale su $K$ con una topologia tale per cui la somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare sono continue.

Si possono definire diverse topologie su $X$ utilizzando lo spazio duale continuo $X^{*}$, composto da tutti i funzionali lineari su $X$ (a valori in $K$) continui rispetto alla topologia data. La topologia debole su $X$ è la topologia iniziale rispetto a $X^{*}$. Si tratta della topologia più grezza tale per cui ogni funzionale di X^* è una funzione continua.

Bibliografia

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Voci correlate

• Relazione di finezza
• Topologia
• Topologia di sottospazio
• Topologia finale
• Topologia operatoriale
• Topologia prodotto

Collegamenti esterni

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