Topologia di Krull

La topologia di Krull è la topologia che più spesso viene messa sul gruppo di Galois di un'estensione di campi, in modo da renderlo un gruppo topologico. Nel caso di estensioni di Galois finite, tale topologia è solitamente di poco interesse e coincide con la discreta, per cui essa si rivela particolarmente importante nello studio di estensioni di Galois infinite.

Definizione

Indicheremo d'ora in poi con $L/K$ l'estensione di campi $K\subseteq L$ . Diciamo che $L/K$ è di Galois se è un'estensione algebrica normale e separabile, e denotiamo con $Gal(L/K)$ il suo gruppo di Galois.

Se $L/K$ è di Galois infinita, sia

$$ℱ:=\{F\text{campo}|K\subseteq F\subseteq L\text{e}F/K\text{finita}\}$$

l'insieme delle sottoestensioni finite di $L/K$.

Possiamo immergere $Gal(L/K)$ nel prodotto diretto di gruppi $\prod _{F\in ℱ}Gal(F/K)$ nel seguente modo: per ogni $F\in ℱ$ sia ${\pi }_F:Gal(L/K)\to Gal(F/K)$ la mappa che porta ogni automorfismo $\sigma \in Gal(L/K)$ nella sua restrizione $\sigma {|}_F\in Gal(F/K)$, e sia $\rho :Gal(L/K)\to \prod _{F\in ℱ}Gal(F/K)$ la mappa che porta ogni $\sigma \in Gal(L/K)$ nella successione delle sue restrizioni agli $F\in ℱ$, cioè $\rho (\sigma )=({\sigma }_F{)}_{F\in ℱ}$.

Allora, la $\rho$ è iniettiva e, per il primo teorema di isomorfismo, la sua immagine è isomorfa a $Gal(L/K)$.

Definiamo ora una topologia come segue:

• su ciascun gruppo $Gal(F/K)$ mettiamo la topologia discreta;
• sul prodotto $\prod _{F\in ℱ}Gal(F/K)$ mettiamo la topologia prodotto;
• sull'immagine di $\rho$ contenuta nel prodotto mettiamo la topologia di sottospazio;

• infine, su $Gal(L/K)$ mettiamo la topologia indotta da $\rho$ come isomorfismo di gruppi, cioè la meno fine topologia che renda $\rho$ un omeomorfismo.

La topologia così ottenuta è la topologia di Krull sul gruppo di Galois.

Una definizione alternativa

La topologia di Krull si definisce, alternativamente, in un modo meno costruttivo e più astratto, tuttavia utile nelle applicazioni.

Sia $𝒢=\{Gal(F/K)|F\in ℱ\}$ la famiglia dei gruppi di Galois delle sottoestensioni $F\in ℱ$ su $K$, la $ℱ$ definita come sopra. Possiamo dotare la $𝒢$ di una famiglia di mappe, corrispondenti alle restrizioni degli automorfismi, nel seguente modo: se $F_1,F_2\in ℱ$ e $F_1\subseteq F_2$, allora ${\text{res}}_{F_1,F_2}:Gal(F_2/K)\to Gal(F_1/K)$ porta ogni automorfismo $\sigma \in Gal(F_2/K)$ in $\sigma {|}_{F_1}$ la sua restrizione su $F_1$. Si noti che tale restrizione è ben definita, perché $F_1/K$ è un'estensione normale per ipotesi.

La $𝒢$, dotata delle mappe di restrizione così definite, diventa un sistema proiettivo. Anche se finora si è parlato solo di gruppi, i $Gal(F/K)$ con $F\in ℱ$ sono in realtà gruppi topologici, se su di essi si mette la topologia discreta. Allora, la $𝒢$ con le restrizioni è in realtà un sistema proiettivo di gruppi topologici. Il suo limite inverso è un gruppo topologico: come gruppo, si vede essere proprio $Gal(L/K)$. La topologia, limite inverso delle topologie discrete sui $Gal(F/K)\in 𝒢$, che risulta posta su $Gal(L/K)$ si dice per definizione la topologia di Krull.

Prime proprietà

Si può dimostrare che $Gal(L/K)$ con la topologia di Krull è T2, compatto e totalmente sconnesso. Questi risultati derivano facilmente dall'osservazione che una base è data dalle classi laterali ${\sigma }_{F}Gal(L/F)$ dei nuclei delle ${\pi }_F$.

Altre proprietà importanti sono:

• $Gal(L/K)$ è un gruppo topologico con la topologia di Krull, cioè la moltiplicazione e il passaggio all'inversa sono mappe continue;
• un sistema di intorni di $1_{Gal(L/K)}$ è dato dai gruppi $Gal(L/F)$;
• per continuità del prodotto, segue che un sistema di intorni $\sigma$ è dato dai $\sigma Gal(L/F)$ al variare di $F\in ℱ$.

Bibliografia

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