Estensione separabile

Template:S In matematica, unTemplate:'estensione separabile è un'estensione di campi algebrica $K\subseteq L$ in cui il polinomio minimo di ogni elemento di $L$ è un polinomio separabile. Un'estensione non separabile è detta inseparabile.

Le estensioni separabili sono particolarmente importanti nella teoria di Galois: infatti il teorema di corrispondenza di Galois, che è al centro della teoria, vale per estensioni finite che sono separabili e normali (dette estensioni di Galois).

Se la caratteristica di $K$ è 0, allora tutte le estensioni algebriche di $K$ sono separabili. Se la caratteristica è un numero primo $p$, invece, possono esistere estensioni non separabili: ad esempio, l'estensione ${\mathbb{Z}}_p(X^p)\subseteq {\mathbb{Z}}_p(X)$ non è separabile, perché il polinomio minimo di $X$ su ${\mathbb{Z}}_p(X^p)$ è $T^p-X^p$, che non è separabile. Se tutte le estensioni algebriche di $K$ sono separabili, allora $K$ è detto essere un campo perfetto; per quanto detto sopra, ogni campo di caratteristica 0 è perfetto. Se invece $K$ ha caratteristica $p$ allora è perfetto se e solo se ogni elemento ha una radice $p$-esima nel campo (cioè il suo endomorfismo di Frobenius è suriettivo); ad esempio, ogni campo finito è perfetto.

La chiusura separabile di un campo

L'insieme di tutti gli elementi di $L$ separabili su $K$ è un campo, indicato con $K_s$, e detto chiusura separabile di $K$ in $L$; $K\subseteq L$ è un'estensione separabile se e solo se la chiusura separabile è esattamente $L$. Il grado $[K_s:K]$ è detto grado di separabilità di $K\subseteq L$, mentre il quoziente $[L:K]/[K_s:K]$ è detto grado di inseparabilità. Quest'ultimo può essere pensato come un modo per "misurare" quanto un'estensione è lontana dall'essere separabile.

Bibliografia

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