Teorema di rappresentazione dei numeri reali

Template:S In matematica, il teorema di rappresentazione dei numeri reali o teorema di rappresentazione in base consente di rappresentare un numero reale utilizzando numeri interi.

Enunciato

Il teorema afferma che dato un numero reale $x$ e un numero intero $\beta$, detto base, si può rappresentare $x$ come:

$x=\mathrm{sgn}(x)(c_1{\beta }^{-1}+c_2{\beta }^{-2}+\dots +c_p{\beta }^{-p}){\beta }^p=\mathrm{sgn}(x){\beta }^p\sum _{i=1}^p{c}_i{\beta }^{-i}=\mathrm{sgn}(x)m{\beta }^p$

dove:

• $\mathrm{sgn}(x)$ è la funzione segno:

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }x>0\\ 0,& \text{se }x=0\\ -1,& \text{se }x<0\end{array}$

• Il numero intero $p$ è detto esponente o caratteristica di $x$

• I numeri interi $c_i$ sono detti cifre, con $0\le c_i\le \beta -1$. Nel caso di rappresentazione normalizzata $c_1\ne 0$, mentre nel caso in cui esista un indice $k$ tale che $c_k\ne 0\text{ e }{c}_i=0$ per $i>k$ la rappresentazione si dice rappresentazione finita di lunghezza $k$.

• Il numero:

$m=\sum _{i=1}^p{c}_i{\beta }^{-i}\frac{1}{\beta }\le m<1$

è detto mantissa di $x$, mentre ${\beta }^p$ è detta parte esponente di $x$.

Se si scartano le rappresentazioni in cui si abbia, definitivamente in $i$, $c_i=\beta -1$, e se $x\ne 0$ la rappresentazione normalizzata è unica.

Il numero reale $x$ può essere rappresentato nella base $\beta$ attraverso la notazione posizionale o la notazione mista. Ad esempio, il numero reale $\alpha$ di nome quattrocentocinque rappresentato in base $\beta =10$ diventa:

$\alpha =+(4\times 10^{-1}+0\times 10^{-2}+5\times 10^{-3})10^3$

con:

$c_1=4,c_2=0,c_3=5;$ e $p=3$

Bibliografia

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