Teorema di Nepero

Template:F In matematica, il teorema di Nepero afferma le seguenti identità, utilizzando la notazione standard per gli elementi di un triangolo:

\frac{b + c}{b - c} = \frac{\tan \frac{β + γ}{2}}{\tan \frac{β - γ}{2}};

\frac{c + a}{c - a} = \frac{\tan \frac{γ + α}{2}}{\tan \frac{γ - α}{2}};

\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan \frac{α + β}{2}}{\tan \frac{α - β}{2}} .

Dimostrazione

Siano $a$ , $b$ , $c$ le lunghezze dei lati di un triangolo, e siano $α$ , $β$ , $γ$ le ampiezze degli angoli opposti, rispettivamente.

\frac{b + c}{b - c} = \frac{(b + c)^{2}}{(b + c) (b - c)} = \frac{a^{2} (b + c)^{2}}{a^{2} (b + c) (b - c)} = \frac{a^{2}}{b^{2} - c^{2}} {(\frac{b + c}{a})}^{2} = \frac{(a^{2} + b^{2} - c^{2}) + (a^{2} - b^{2} + c^{2})}{(a^{2} + b^{2} - c^{2}) - (a^{2} - b^{2} + c^{2})} {(\frac{b + c}{a})}^{2} .

Per il teorema dei seni $a = 2 R \sin α$ , $b = 2 R \sin β$ e $c = 2 R \sin γ$ . Sostituendo si ottiene:

\frac{(a^{2} + b^{2} - c^{2}) + (a^{2} - b^{2} + c^{2})}{(a^{2} + b^{2} - c^{2}) - (a^{2} - b^{2} + c^{2})} {(\frac{b + c}{a})}^{2} = \frac{(\sin^{2} α + \sin^{2} β - \sin^{2} γ) + (\sin^{2} α - \sin^{2} β + \sin^{2} γ)}{(\sin^{2} α + \sin^{2} β - \sin^{2} γ) - (\sin^{2} α - \sin^{2} β + \sin^{2} γ)} {(\frac{\sin β + \sin γ}{\sin α})}^{2} .

(1)

Consideriamo il secondo membro: usando le formule di prostaferesi, la formula di duplicazione del seno e l'identità $α + β + γ = π$ diventa

{(\frac{2 \sin \frac{β + γ}{2} \cos \frac{β - γ}{2}}{2 \sin \frac{β + γ}{2} \cos \frac{β + γ}{2}})}^{2} = {(\frac{\cos \frac{β - γ}{2}}{\cos \frac{β + γ}{2}})}^{2} .

Consideriamo il primo addendo del numeratore del primo membro: $\sin^{2} α + \sin^{2} β - \sin^{2} γ .$

Usando la formula di bisezione del coseno, le formule di prostaferesi, le identità $α + β + γ = π$ e $\cos (π / 2 - x) = \sin x$ , otteniamo:

\sin^{2} α + \sin^{2} β - \sin^{2} γ = 1 - \cos^{2} α + 1 - \cos^{2} β - 1 + \cos^{2} γ = 1 - \frac{\cos 2 α + 1}{2} - \frac{\cos 2 β + 1}{2} + \cos^{2} γ = \cos^{2} γ - \frac{1}{2} (\cos 2 α + \cos 2 β) =

= \cos^{2} γ + \cos γ \cos (α - β) = \cos γ (\cos γ + \cos (α - β)) = 2 \cos γ \cos \frac{α - β + γ}{2} \cos \frac{- α + β + γ}{2} = 2 \sin α \sin β \cos γ .

Allo stesso modo si ottiene che

\sin^{2} α - \sin^{2} β + \sin^{2} γ = 2 \sin α \cos β \sin γ .

Sostituendo le espressioni trovate per il primo e il secondo membro nella (1) e usando la formula di somma del seno, otteniamo

\frac{b + c}{b - c} = \frac{2 \sin α \sin β \cos γ + 2 \sin α \cos β \sin γ}{2 \sin α \sin β \cos γ - 2 \sin α \cos β \sin γ} {(\frac{\cos \frac{β - γ}{2}}{\cos \frac{β + γ}{2}})}^{2} = \frac{\sin (β + γ)}{\sin (β - γ)} {(\frac{\cos \frac{β - γ}{2}}{\cos \frac{β + γ}{2}})}^{2} .

Usando la formula di duplicazione del seno otteniamo

\frac{b + c}{b - c} = \frac{\sin (β + γ)}{\sin (β - γ)} {(\frac{\cos \frac{β - γ}{2}}{\cos \frac{β + γ}{2}})}^{2} = \frac{2 \sin \frac{β + γ}{2} \cos \frac{β + γ}{2}}{2 \sin \frac{β - γ}{2} \cos \frac{β - γ}{2}} {(\frac{\cos \frac{β - γ}{2}}{\cos \frac{β + γ}{2}})}^{2} = \frac{\tan \frac{β + γ}{2}}{\tan \frac{β - γ}{2}} .