Formule di duplicazione

Template:F Le formule di duplicazione nella trigonometria servono per calcolare il seno, il coseno e la tangente di $2\alpha$ avendo il valore di seno, coseno o tangente di $\alpha$. Sono ottenibili direttamente a partire dalle più generali formule di addizione delle funzioni trigonometriche nel caso particolare $\alpha =\beta$.

Per il seno e il coseno si ha:

$\sin (2\alpha )=\sin (\alpha )\cos (\alpha )+\cos (\alpha )\sin (\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha );$

$\cos (2\alpha )=\cos (\alpha )\cos (\alpha )-\sin (\alpha )\sin (\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha .$

Poiché ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$, tale formula può anche essere riscritta come:

• $\cos (2\alpha )=(1-{\sin }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha ;$
• $\cos (2\alpha )={\cos }^2\alpha -(1-{\cos }^2\alpha )=2{\cos }^2\alpha -1.$

Per la tangente si ha:

$\tan (2\alpha )=\frac{\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan (\alpha )\tan (\alpha )}=\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha },$

e la soprastante formula è valida per $\tan \alpha \ne \pm 1$, ossia per:

$\alpha \ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$

In corrispondenza di tali valori la formula tende all'infinito, ed in particolare:

• $\underset{\alpha \to (\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}{)}^{-}}{\lim }\tan (2\alpha )=+\mathrm{\infty };$
• $\underset{\alpha \to (\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}{)}^{+}}{\lim }\tan (2\alpha )=-\mathrm{\infty }.$