Teorema dei seni

Un triangolo generico con le comuni notazioni

In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

$a=\overline{BC},\alpha =C\hat{A}B$

$b=\overline{AC},\beta =A\hat{B}C$

$c=\overline{AB},\gamma =B\hat{C}A$

Vale quindi

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{abc}{2S}=2R$

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.

La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:

$a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$.

Applicazioni

Risoluzione di un triangolo con il teorema dei seni

Il teorema può essere adoperato

• per determinare il raggio del cerchio circoscritto:

$R=\frac{a}{2\sin \alpha }$

• per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo e il lato opposto (vedere figura a lato):

$\alpha =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{a\sin \beta }{b}$.Template:Clear

Generalizzazione alle geometrie non euclidee

Triangolo sferico: dimensioni ridotte a, b e c; angoli α, β e γ

Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è

$\rho =1/\sqrt{|K|}$.

Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:

$a=\overline{BC}/\rho$,

$b=\overline{AC}/\rho$,

$c=\overline{AB}/\rho$.

Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).

Geometria sferica

In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da

$\frac{\sin a}{\sin \alpha }=\frac{\sin b}{\sin \beta }=\frac{\sin c}{\sin \gamma }=\frac{6V_{OABC}}{{\rho }^3\sin a\sin b\sin c}$,

dove V_OABC è il volume del tetraedro OABC.

Geometria iperbolica

Template:Vedi anche In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con

$\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}a}{\sin \alpha }=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}b}{\sin \beta }=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}c}{\sin \gamma }$.

Generalizzazione al tridimensionale (euclideo)

Tetraedro: facce ed angoli diedri

Si consideri un tetraedro A₁A₂A₃A₄ nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro:

• S_k la faccia opposta al vertice A_k;
• s_k la superficie di S_k;
• Δ_k il piano su cui giace S_k;
• θ_ij l'angolo diedro $\widehat{({\mathrm{\Delta }}_i,{\mathrm{\Delta }}_j)}$.

Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice A₁ si definisce nel modo seguente:

$\sin A_1=\frac{\sqrt{1-{\cos }^2{\theta }_{23}-{\cos }^2{\theta }_{24}-{\cos }^2{\theta }_{34}-2\cos {\theta }_{23}\cos {\theta }_{24}\cos {\theta }_{34}}}{\sin {\theta }_{23}\sin {\theta }_{24}\sin {\theta }_{34}}$;

E in modo analogo per gli altri angoli triedri.

Vale quindi

$\frac{s_1}{\sin A_1}=\frac{s_2}{\sin A_2}=\frac{s_3}{\sin A_3}=\frac{s_4}{\sin A_4}=\frac{2s_1{s}_2{s}_3{s}_4}{9V}$,

dove V è il volume del tetraedro.

Voci correlate

• Seno (matematica)
• Trigonometria
• Triangolo
• Teorema del coseno
• Teorema della corda

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni