Teorema di Moser

Il teorema di Moser è un teorema nell'ambito della geometria delle varietà simplettiche.

Il teorema

Sia $(M,{\omega }_t)$ una varietà simplettica per ogni $t\in [0,1]$, dove ${\omega }_t=(1-t){\omega }_0+t{\omega }_1$ e $[{\omega }_0]=[{\omega }_1]\in H^2(M)$ (ovvero le due forme ${\omega }_0,{\omega }_1$ appartengono alla stessa classe nella coomologia di de Rham della varietà). Allora, esiste una famiglia di diffeomorfismi

$\rho :M\times ℝ\to M,(x,t)\mapsto {\rho }_t(x),$

tale che ${\rho }_t^{*}{\omega }_t={\omega }_0.$

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema prima dimostriamo che esiste un campo vettoriale dipendente dal tempo $V_t\in 𝔛(M)$ che soddisfa la seguente equazione (equazione di Moser)

${ℒ}_{V_t}{\omega }_t+\frac{d{\omega }_t}{dt}=0.$

Infatti, per quanto riguarda il primo addendo si ottiene (applicando la formula di Cartan per la derivata di Lie)

${ℒ}_{V_t}{\omega }_t=d{i}_{V_t}{\omega }_t+i_{V_t}d{\omega }_t=d{i}_{V_t}{\omega }_t,$

dove si tenuto conto che $d{\omega }_t=0$. Per il secondo addendo invece, usando la definizione di ${\omega }_t$ $\frac{d{\omega }_t}{dt}={\omega }_1-{\omega }_0$ ma dal momento che $[{\omega }_0]=[{\omega }_1]$ allora ${\omega }_1-{\omega }_0=d\mu$ per una qualche 1-forma $\mu$. L'equazione da provare diventa pertanto $d(i_{V_t}{\omega }_t+\mu )=0$ la quale, dal momento che ${\omega }_t$ è non degenere, è equivalente a

$i_{V_t}{\omega }_t+\mu =0⟹{\omega }_t(V_t,\cdot )=-\mu ⟹{\omega }_t^{\mathrm{♯}}(V_t)=-\mu ⟹V_t={\omega }_t^{\mathrm{♭}}(-\mu ).$

Pertanto, l'equazione di Moser è soddisfatta da un campo della forma $V_t={\omega }_t^{\mathrm{♭}}(-\mu )$.

Per dimostrare il teorema basta notare che

${\rho }_t^{*}({ℒ}_{V_t}{\omega }_t+\frac{d{\omega }_t}{dt})=\frac{d}{dt}({\rho }_t^{*}{\omega }_t),$

dove ${\rho }_t$ è il flusso di $V_t$. Scegliendo opportunamente il campo $V_t$ la precedente equazione si riduce a

$\frac{d}{dt}({\rho }_t^{*}{\omega }_t)=0.$

Pertanto ${\rho }_t^{*}{\omega }_t$ non dipende da $t$ e dunque ${\rho }_0^{*}{\omega }_0={\omega }_0={\rho }_t^{*}{\omega }_t$.

Il teorema di Moser relativo

Date due strutture simplettiche $(M,{\omega }_0)$, $(M,{\omega }_1)$ su una stessa varietà compatta $M$, e data una sottovarietà compatta $i:X\hookrightarrow M$ tale che

${\omega }_0{|}_{i(X)}={\omega }_1{|}_{i(X)}$

si ha che esistono due intorni $U_0,U_1$ di $i(X)\subseteq M$ ed un diffeomorfismo $\varphi :U_0\to U_1$ tali che ${\varphi }^{*}{\omega }_1={\omega }_0$.

Dimostrazione

Si prenda $U_0$ come intorno tubulare di $i(X)$. Per ipotesi, si ha che esiste una qualche 1-forma $\mu$ tale che ${\omega }_1-{\omega }_0=d\mu$. Possiamo scegliere che valga $\mu {|}_{i(X)}=0$. Si consideri la seguente forma simplettica

${\omega }_t=(1-t){\omega }_0+t{\omega }_1,$

per $t\in [0,1]$: possiamo dire che ${\omega }_t$ è simplettica su $U_0$, a meno di riscalamenti convessi per eliminare eventuali punti di singolarità della forma. È sufficiente applicare il primo teorema di Moser per trovare un diffeomorfismo ${\varphi }_t:U_0\to U_0$ tale che ${\varphi }_t^{*}{\omega }_t={\omega }_0$.