Disuguaglianza di Darboux

Template:S La disuguaglianza di Darboux è una disuguaglianza relativa all'integrazione sul piano complesso: essa afferma che il modulo dell'integrale di una funzione, lungo una curva del piano complesso, è sempre minore o uguale del massimo valore in modulo della funzione, moltiplicato per la lunghezza della curva. In maniera più formale, per l'integrale curvilineo di una funzione $f(z)$ lungo la curva $\gamma \subset ℂ$ la disuguaglianza di Darboux è la seguente:

$\left|\underset{\gamma }{\int }f\left(z\right)dz\right|\le \underset{\gamma }{\int }\left|f\left(z\right)\right|dz\le M\cdot l$

dove $M$ è il massimo valore in modulo assunto dalla funzione lungo la curva, e $l$ è la lunghezza della curva.

Dimostrazione: suddividiamo la curva $\gamma$ in $n$ punti $z_1,\dots ,z_n$, e tra i punti $(z_0,z_1);(z_1,z_2);\dots ;(z_{n-1},z_n)$ prendiamo i punti ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$. Definiamo ora

$S_n=f({\xi }_1)(z_1-z_0)+f({\xi }_2)(z_2-z_1)+\dots +f({\xi }_n)(z_n-z_{n-1})$

da cui si ottiene

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to +\mathrm{\infty }}{S}_n=\underset{\gamma }{\int }f\left(z\right)dz$

e vale inoltre la seguente relazione

$\left|S_n\right|\le \sum _{k=1}^n\left|f\left({\xi }_k\right)\right|\left|z_k-z_{k-1}\right|\le M\sum _{k=1}^n\left|z_k-z_{k-1}\right|$

da cui passando al limite per $n\to +\mathrm{\infty }$ si ottiene la disuguaglianza di Darboux.