Teorema di Gel'fond-Schneider

Template:F In matematica, il teorema di Gel'fond-Schneider è un teorema che stabilisce la trascendenza di una grande classe di numeri e risolve così il settimo problema di Hilbert.

Fu dimostrato indipendentemente nel 1934 dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond e da Theodor Schneider.

Enunciato

Il teorema afferma che dati due numeri complessi a algebrico diverso da 0 e da 1 e b non razionale e algebrico, ogni valore di $a^b$ è trascendente, cioè non è la radice di nessun polinomio a coefficienti interi. Per esempio il teorema afferma la trascendenza di numeri come $3^{\sqrt{2}}$, ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$, ma anche (essendo i algebrico e "non razionale") di $2^i$ o di $i^i$.

Il teorema è in generale falso se b è (irrazionale) trascendente, come ad esempio nel caso di $a=2$ e $b=\frac{\log 3}{\log 2}$ ($a^b=3$ è chiaramente non trascendente). Casi come $e^e$, ${\pi }^{\pi }$ o ${\pi }^e$ sono dunque tuttora aperti. Curiosamente però si sa in base al teorema di Gel'fond che $e^{\pi }$ (nota come costante di Gel'fond) è trascendente visto che $e^{\pi }$ si può scrivere anche come $e^{\pi }=i^{-2i}$ a cui il teorema è applicabile.

Voci correlate

• Numero algebrico
• Numero trascendente
• Teorema di Lindemann-Weierstrass

Collegamenti esterni

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