Dimostrazione della trascendenza di e

Template:F La prima dimostrazione della trascendenza di e sul campo dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ fu completata nel 1873 ad opera di Charles Hermite. Successivamente David Hilbert (1862–1943) ne fornì una versione semplificata.

La dimostrazione di Hilbert

Supponiamo per assurdo che $\text{e}$ sia un numero algebrico e cioè che esista un insieme finito di coefficienti razionali non nulli $c_0,c_1,\dots ,c_n$ che soddisfano l'equazione

$c_0+c_1\text{e}+c_2{\text{e}}^2+\cdots +c_n{\text{e}}^n=0.$

A meno di moltiplicare per il denominatore comune dei coefficienti, non è restrittivo supporre che tali coefficienti siano interi. Si può inoltre supporre che $n$ sia il minimo intero per cui esistano dei tali coefficienti.

Per ogni coppia di interi $k$ e $l$, siano $G$ e $H$ le funzioni definite da

$G(k,l):=\underset{l}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k[(x-1)(x-2)\cdots (x-n){]}^{k+1}{\text{e}}^{-x}\text{d}x,$

$H(k,l):=\underset{0}{\overset{l}{\int }}{x}^k[(x-1)(x-2)\cdots (x-n){]}^{k+1}{\text{e}}^{-x}\text{d}x.$

Per ogni $k$ consideriamo l'equazione ottenuta moltiplicando per $G(k,0)$ ambo i membri dell'equazione

$c_0+c_1\text{e}+c_2{\text{e}}^2+\cdots +c_n{\text{e}}^n=0$

in modo da ottenere

$G(k,0)(c_0+c_1\text{e}+c_2{\text{e}}^2+\cdots +c_n{\text{e}}^n)=0.$

Dalla definizione di $G$ e $H$ discende che $G(k,0)=G(k,l)+H(k,l)$ per ogni coppia di interi $k$, $l$ e dunque l'equazione precedente può anche essere scritta nella forma

$P_1(k)+P_2(k)=0$

dove

$P_1(k)=c_{0}G(k,0)+c_1\text{e}G(k,1)+c_2{\text{e}}^{2}G(k,2)+\cdots +c_n{\text{e}}^{n}G(k,n)$

$P_2(k)=c_1\text{e}H(k,1)+c_2{\text{e}}^{2}H(k,2)+\cdots +c_n{\text{e}}^{n}H(k,n).$

Per completare la dimostrazione basta dunque mostrare che per $k$ sufficientemente grande

$\frac{P_1(k)}{k!}$

è un intero non-nullo mentre

$\frac{P_2(k)}{k!}$

non è intero, in quanto tali fatti sono in contraddizione con l'equazione

$P_1(k)+P_2(k)=0.$

Il fatto che il primo numero sia un intero risulta dall'identità

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^j{\text{e}}^{-x}\text{d}x=j!$

che è valida per ogni intero positivo $j$ e può essere dimostrata per induzione usando l'integrazione per parti.

Per mostrare che per $k$ sufficientemente grande il secondo numero non è intero, è sufficiente provare che $\mathrm{\exists }{k}_0:\mathrm{\forall }k>k_0$ si ha

$0<\left|\frac{P_2(k)}{k!}\right|<1.$

A questo scopo, notiamo dapprima che

$x^k[(x-1)(x-2)\cdots (x-n){]}^{k+1}{\text{e}}^{-x}$

è il prodotto delle funzioni

$[x(x-1)(x-2)\cdots (x-n){]}^k$e$(x-1)(x-2)\cdots (x-n){\text{e}}^{-x}.$

Osserviamo poi che, se denotiamo rispettivamente con $R$ e $S$ i massimi di

$|x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|,|(x-1)(x-2)\cdots (x-n){\text{e}}^{-x}|$

sull'intervallo $[0,n]$, si ha

$|P_2(k)|\le |c_1|\text{e}S{R}^k+|c_2|2{\text{e}}^{2}S{R}^k+\cdots +|c_n|n{\text{e}}^{n}S{R}^k\le T{R}^k$

per un'opportuna costante $T$. Di conseguenza

$\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{P_2(k)}{k!}\right|\le \underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{T{R}^k}{k!}=0$

e dunque

$\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P_2(k)}{k!}=0.$

Quindi, per la definizione di limite, $\mathrm{\exists }{k}_0:\mathrm{\forall }k>k_0$ risulta

$\left|\frac{P_2(k)}{k!}\right|<1.$

Per concludere la dimostrazione basta quindi mostrare che questo numero è diverso da zero, e ciò segue dalla minimalità di $n$ in quanto $\mathrm{\forall }k$ risulta $H(k,n)\ne 0$.

Una strategia simile, differente dall'approccio originale di Lindemann, può essere usata per mostrare che π è trascendente.