Teorema di Heine-Cantor

In matematica, il teorema di Heine - Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l'uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici. Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.

In generale ogni funzione uniformemente continua è anche continua. Il teorema di Heine-Cantor permette di invertire tale implicazione, nell'ipotesi che il dominio sia uno spazio metrico compatto.

Il teorema

Siano $(M,d)$ e $(N,\rho )$ spazi metrici, e $f:M\to N$ una funzione continua su $M$. Se $M$ è compatto allora $f$ è uniformemente continua.

In particolare, tutte le funzioni reali di variabile reale continue definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.

Dimostrazione

Assumiamo, per assurdo, che non valga la tesi; la negazione di

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta =\delta (\epsilon )>0:\mathrm{\forall }x,y\in M,d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\epsilon$

equivale a

$\mathrm{\exists }\overline{\epsilon }>0:\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }x=x_{\delta },y=y_{\delta }\in M:d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta ,\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\ge \overline{\epsilon }$.

Supponiamo dunque che esista $\overline{\epsilon }>0$ tale che per ogni $\delta >0$ esistano punti $x_{\delta },y_{\delta }$ tali che

$d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta$ e $\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\ge \overline{\epsilon }$

Diamo a $\delta$ i valori $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\cdots ,\frac{1}{n},\cdots$ e denotiamo con $x_n$ e $y_n$ i corrispondenti punti $x_{\delta },y_{\delta }$.

In questo modo si definiscono due successioni di punti $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ e $\{y_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.

Poiché $M$ è compatto da $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto $z\in M$; sia essa $\{x_{n_j}\}$.

Poiché $d(x_{n_j},y_{n_j})<\frac{1}{n_j}\to 0$ per $j\to +\mathrm{\infty }$, si ha

$d(y_{n_j},z)\le d(x_{n_j},y_{n_j})+d(x_{n_j},z)\to 0$ per $j\to +\mathrm{\infty }$. quindi anche $\{y_{n_j}\}$ converge a $z$

Poiché per ogni $j$ si ha

$\rho (f(x_{n_j}),f(y_{n_j}))\le \rho (f(x_{n_j}),f(z))+\rho (f(y_{n_j}),f(z))$

e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (f(x_{n_j}),f(y_{n_j}))=0$

incompatibile con l'ipotesi d'assurdo $\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\ge \overline{\epsilon }$

Condizione sufficiente

La compattezza è una condizione sufficiente ma non necessaria per avere continuità uniforme. Esistono infatti funzioni uniformemente continue definite in spazi metrici non compatti. Banalmente la funzione $f(x)=x$ è uniformemente continua in ogni spazio metrico, come pure le funzioni costanti.

Bibliografia

• Template:Cita libro