Costante di Gel'fond

La costante di Gel'fond è un numero trascendente il cui valore è e elevato alla π,

e^{π} = 23, 1406926327 . . .

Prende il nome dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gel'fond.

Il suo sviluppo in frazione continua è

[23, 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108, \dots] .

Dimostrazione della trascendenza

Dalla formula di Eulero si può ricavare che:

e^{i \frac{π}{2}} = i .

Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che $i^{2} = - 1$ :

i^{i} = e^{- \frac{π}{2}},

cioè

e^{π} = \frac{1}{i^{2 i}} = i^{- 2 i};

i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gel'fond $e^{π}$ non può essere algebrico.

Il valore della costante di Gel'fond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:

k_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},

k_{n} = \frac{1 - \sqrt{1 - k_{n - 1}^{2}}}{1 + \sqrt{1 - k_{n - 1}^{2}}} .

L'espressione

(4 / k_{n})^{2^{1 - n}}

converge allora rapidamente ad $e^{π}$

Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da

V_{n} = \frac{π^{\frac{n}{2}} R^{n}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)},

dove $Γ$ è la funzione gamma. Di conseguenza, se si considerano solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, si ha che:

V_{2 n} = \frac{π^{n}}{n!},

ricordando che $Γ (n + 1) = n!$ per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha

\sum_{n = 0}^{\infty} V_{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{π^{n}}{n!} = e^{π},

perché il secondo membro è lo sviluppo in serie di Taylor dell'esponenziale.