Teorema di Gauss-Lucas

In analisi complessa, una branca della matematica, il teorema di Gauss–Lucas fornisce un relazione geometrica tra le radici di un polinomio $P$ e le radici della sua derivata $P^{\prime }$. L'insieme delle radici di un polinomio reale o complesso è un insieme di punti nel piano complesso. Il teorema afferma che le radici di $P^{\prime }$ giacciono tutte all'interno dell'inviluppo convesso delle radici di $P$, cioè il più piccolo poligono convesso che contiene le radici di $P$. Quando $P$ ha una radice singola allora il suo inviluppo convesso è un solo punto, mentre quando gli zeri giacciono su una retta allora l'inviluppo è un segmento appartenente a tale retta. Il teorema di Gauss–Lucas, che deve il suo nome a Carl Friedrich Gauss e Félix Lucas, è molto simile per certi versi al teorema di Rolle.

Enunciato

Sia $P$ è un polinomio (non costante) a coefficienti complessi, allora tutte le radici di $P^{\prime }$ appartengono all'inviluppo convesso dell'insieme degli zeri di $P$.

Casi speciali

È facile vedere che se $P(x)=a{x}^2+bx+c$ è un polinomio di secondo grado, lo zero di $P^{\prime }(x)=2ax+b$ è la media delle radici di $P$. In questo caso, l'inviluppo convesso è il segmento di estremi le due radici ed è evidente che la media degli zeri si trovi nel punto medio di tale segmento. Per un polinomio complesso $P$ di terzo grado (funzione cubica) con tre zeri distinti, il teorema di Marden afferma che gli zeri di $P^{\prime }$ sono i fuochi dell'inellisse di Steiner, che è l'unico ellisse tangente ai lati del triangolo formato dagli zeri di $P$ nei loro punti medi.

Per un polinomio complesso $P$ di quarto grado con 4 zeri distinti che formano un quadrilatero concavo, uno degli zeri di $P$ giace nell'inviluppo convesso degli altri tre; tutte e tre le radici di $P^{\prime }$ giacciono in due dei tre triangoli formati dallo zero interno di $P$ e dagli altri due.

Inoltre, se un polinomio di grado $n$ a coefficienti reali ha $n$ radici distinte $x_1<x_2<\cdots <x_n$, si mostra, usando il teorema di Rolle, che gli zeri del polinomio derivato si trovano nell'intervallo $[x_1,x_n]$, che è l'inviluppo convesso dell'insieme delle radici.

L'inviluppo convesso delle radici del polinomio $p_n{x}^n+p_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +p_0$ in particolare include il punto $-\frac{p_{n-1}}{n\cdot p_n}$.

Dimostrazione

Sui numeri complessi, $P$ è fattorizzabile in fattori primi

$P(z)=\alpha \prod _{i=1}^n(z-a_i)$

dove i numeri complessi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ sono le – non necessariamente distinte – radici del polinomio $P$, il numero complesso $\alpha$ è il coefficiente direttore di $P$ e $n$ è il grado del polinomio. Sia $z$ un qualunque numero complesso per cui $P(z)\ne 0$. Allora si ha per la derivata logaritmica

$\frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{z-a_i}.$

In particolare, se $z$ è uno zero di $P^{\prime }$ e $P(z)\ne 0$, allora

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{z-a_i}=0$,

equivalente a

$\sum _{i=1}^n\frac{\bar{z}-\overline{a_i}}{|z-a_i{|}^2}=0.$

Si può scrivere come

$\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{|z-a_i{|}^2}\right)\bar{z}=\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{|z-a_i{|}^2}\overline{a_i}\right).$

Prendendo i coniugati, si nota che $z$ è una somma pesata con coefficienti positivi che hanno somma uguale a 1, o il baricentro in coordinate affini, dei numeri complessi $a_i$ (con differente contributo assegnato a ciascuna radice e tale che la somma dei pesi sia 1).

Se $P(z)=P^{\prime }(z)=0$, allora $z=1\cdot a_i+(\sum _{j=1,j\ne i}^{n}0\cdot a_j)$ per qualche $i$, ed è ancora una combinazione convessa delle radici di $P$.

Voci correlate

• Teorema di Rouché
• Teorema di Rolle
• Teorema delle radici razionali
• Lemma di Gauss (polinomi)
• Inviluppo convesso

Collegamenti esterni

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