Teorema di Darboux (geometria)

Template:S In geometria, in particolare in geometria simplettica, il teorema di Darboux è un importante risultato da cui discende il fatto che due qualsiasi varietà simplettiche della stessa dimensione sono localmente simplettomorfe, ed in particolare sono simplettomorfe a ${ℝ}^{2n}$ con la forma simplettica standard ${\omega }_0$.

Il teorema

Sia $(M,\omega )$ una varietà simplettica, e sia $p\in M$ un punto su di essa. Allora, esiste una carta locale definita in un intorno $U_0$ di $p$,

$(U_0;x^1,\dots ,x^n,y_1,\dots ,y_n)$

tale che su $U_0$

${\omega }_0=\sum _{i=1}^{n}d{x}_i\wedge d{y}_i$

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema si applica il teorema relativo di Moser sulla sottovarietà $X=\{P\}$ con

$i:X\hookrightarrow MP\mapsto p$

Scegliendo una qualsiasi base simplettica per $T_{p}M$ si possono definire le coordinate

$({\tilde{x}}_1,\dots ,{\tilde{x}}_n,{\tilde{y}}_1,\dots ,{\tilde{y}}_n)$

in un qualche intorno $U_1$ di $p$ tali che

${\omega }_1{|}_p=\sum _{i}d{\tilde{x}}_i\wedge d{\tilde{y}}_i{|}_p$

Il teorema relativo di Moser assicura l'esistenza di un diffeomorfismo $\varphi :U_0\to U_1$ tale che

${\varphi }^{*}{\omega }_1={\omega }_0$

Ora, dal momento che

${\varphi }^{*}{\omega }_1={\varphi }^{*}(\sum _{i}d{\tilde{x}}_i\wedge d{\tilde{y}}_i)=\sum _{i}d({\tilde{x}}_i\circ \varphi )\wedge d({\tilde{y}}_i\circ \varphi )$

è sufficiente scegliere come coordinate $x_i={\tilde{x}}_i\circ \varphi$ e $y_i={\tilde{y}}_i\circ \varphi$.

Conseguenze

Come conseguenza del teorema di Darboux si può affermare che localmente le varietà simplettiche di una stessa dimensione sono tutte isomorfe a $({ℝ}^{2n},{\omega }_0)$. Pertanto, se si dimostra una certa proprietà locale su $({ℝ}^{2n},{\omega }_0)$ che sia invariante per simplettomorfismi , allora questa sarà valida su ogni varietà simplettica di dimensione $2n$.

A differenza delle varietà riemanniane, che si possono classificare localmente tramite la curvatura, le varietà simplettiche non ammettono invarianti locali.