Disuguaglianza di Prékopa-Leindler

In matematica, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler è una disuguaglianza integrale strettamente correlata alla disuguaglianza inversa di Young, alla disuguaglianza di Brunn-Minkowski e ad altre numerose, importanti e classiche disuguaglianze in analisi. Il risultato porta il nome dei matematici ungheresi András Prékopa e László Leindler.

Enunciato della disuguaglianza

Sia 0 < λ < 1 e siano f, g, h : Rⁿ → [0, +∞) due funzioni misurabili a valori reali non negative definite su uno spazio euclideo n-dimensionale Rⁿ. Supponiamo che queste funzioni soddisfino

$h((1-\lambda )x+\lambda y)\ge f(x{)}^{1-\lambda }g(y{)}^{\lambda }$ (equazione 1)

per ogni x e y appartenenti a Rⁿ. Allora

$\Vert h{\Vert }_1:=\underset{{ℝ}^n}{\int }h(x)\mathrm{d}x\ge {(\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)\mathrm{d}x)}^{1-\lambda }{(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(x)\mathrm{d}x)}^{\lambda }=:\Vert f{\Vert }_1^{1-\lambda }\Vert g{\Vert }_1^{\lambda }.$

Forma essenziale della disuguaglianza

Ricordiamo che l'estremo superiore essenziale di una funzione misurabile f : Rⁿ → R è definito da

${\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{x\in {ℝ}^n}f(x)=\inf \{t\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]\mid f(x)\le t\text{ per quasi tutti }x\in {ℝ}^n\}.$

Questa notazione consente di enunciare la seguente forma essenziale della disuguaglianza di Prékopa-Leindler: sia 0 < λ < 1 e siano f, g ∈ L¹(Rⁿ; [0, +∞)) due funzioni non negative assolutamente integrabili. Sia

$s(x)={\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{y\in {ℝ}^n}f{\left(\frac{x-y}{1-\lambda }\right)}^{1-\lambda }g{\left(\frac{y}{\lambda }\right)}^{\lambda }.$

Allora s è misurabile e

$\Vert s{\Vert }_1\ge \Vert f{\Vert }_1^{1-\lambda }\Vert g{\Vert }_1^{\lambda }.$

La forma basata sull'estremo superiore essenziale venne presentata in. Il suo utilizzo può cambiare il membro sinistro della disuguaglianza. Per esempio, una funzione g che assume il valore 1 esattamente in un punto, di solito, non produrrà un membro sinistro uguale a zero nella forma non basata sull'estremo superiore essenziale, ma produrrà sempre un membro sinistro uguale a zero nella forma basata sull'estremo superiore essenziale.

Relazione con la disuguaglianza di Brunn-Minkowski

Si può dimostrare che l'usuale disuguaglianza di Prékopa-Leindler implica la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella forma seguente: se 0 < λ < 1 e A e B sono sottoinsiemi misurabili limitati di Rⁿ tali che la somma di Minkowski (1 − λ)A + λB è anche misurabile, allora

$\mu ((1-\lambda )A+\lambda B)\ge \mu (A{)}^{1-\lambda }\mu (B{)}^{\lambda },$

dove μ denota la misura di Lebesgue n-dimensionale. Quindi, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler può anche essere usata per dimostrare la disuguaglianza di Brunn-Minkowski nella sua forma più familiare: se 0 < λ < 1 e A e B sono sottoinsiemi misurabili limitati non vuoti di Rⁿ tali che (1 − λ)A + λB è anche misurabile, allora

$\mu {((1-\lambda )A+\lambda B)}^{1/n}\ge (1-\lambda )\mu (A{)}^{1/n}+\lambda \mu (B{)}^{1/n}.$

Applicazioni in probabilità e statistica

La disuguaglianza di Prékopa-Leindler risulta utile nella teoria delle distribuzioni logaritmicamente concave, poiché essa può essere usata per mostrare che la concavità logaritmica è conservata dalla marginalizzazione e dalla somma indipendente di variabili casuali distribuite logaritmicamente concave. Supponiamo che H(x,y) sia una distribuzione logaritmicamente concava per (x,y) ∈ R^m × Rⁿ, in modo tale che dalla definizione abbiamo

$H((1-\lambda )(x_1,y_1)+\lambda (x_2,y_2))\ge H(x_1,y_1{)}^{1-\lambda }H(x_2,y_2{)}^{\lambda }$ (equazione 2),

mentre M(y) denoti la distribuzione marginale ottenuta dall'integrazione su x:

$M(y)=\underset{{ℝ}^m}{\int }H(x,y)dx.$

Siano dati y₁, y₂ ∈ Rⁿ e 0 < λ < 1. Allora l'equazione 2 soddisfa la condizione corrispondente all'equazione 1 con h(x) = H(x,(1 − λ)y₁ + λy₂), f(x) = H(x,y₁) and g(x) = H(x,y₂), così si applica la disuguaglianza di Prékopa-Leindler. Ciò può essere scritto in termini di M come

$M((1-\lambda )y_1+\lambda y_2)\ge M(y_1{)}^{1-\lambda }M(y_2{)}^{\lambda },$

che è la definizione di concavità logaritmica per M.

Per vedere come questo implichi la conservazione della convessità logaritmica nelle somme indipendenti, supponiamo che X e Y siano variabili casuali indipendenti con distribuzione logaritmicamente concava. Poiché il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo, la distribuzione congiunta di (X,Y) è anche logaritmicamente concava. La concavità logaritmica è conservata da cambiamenti affini di coordinate, dunque anche la distribuzione di (X + Y, X − Y) è logaritmicamente concava. Poiché la distribuzione di X+Y è marginale sulla distribuzione congiunta di (X + Y, X − Y), noi concludiamo che X + Y ha una distribuzione logaritmicamente concava.

Bibliografia

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