Teorema della probabilità totale

Template:F Il teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di due o più eventi, ovvero la probabilità dell'unione di essi. Il teorema ha due diverse formulazioni, a seconda che si considerino solo eventi a due a due incompatibili o eventi qualsiasi.

Eventi incompatibili

Dato un insieme $A_i$ finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale alla somma delle probabilità degli eventi.

Questa è una prima formulazione del teorema, che si dimostra come segue.

Nel caso di due eventi $A$ e $B$ incompatibili, se cioè $A\cap B=\varnothing$, si applica il terzo assioma della probabilità:

$A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Si dimostra per induzione che ciò vale anche per un insieme finito di eventi $A_n$ a due a due incompatibili, ovvero che:

$A_i\cap A_j=\varnothing ,i\ne j\Rightarrow P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$

Essendo la probabilità una funzione di insieme continua, essendo quindi:

$P\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(A_n)$

il risultato può essere esteso ad unioni numerabili di eventi:

$A_i\cap A_j=\varnothing ,i\ne j\Rightarrow P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i)$

Infatti:

• dalla definizione di limite per successioni di insiemi crescenti si ha:

$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bigcup _{i=1}^n{A}_i$;

• dalla continuità delle funzioni di probabilità segue:

$P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=P\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}P(A_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i)$

Esempio

Se si lancia un dado, e si indicano con $A_1\dots A_6$ gli eventi "ottengo $1$", ..., "ottengo $6$", gli eventi sono a due a due incompatibili ed hanno ciascuno probabilità pari a $\frac{1}{6}$. La probabilità dell'evento "ottengo un numero maggiore di $4$" è:

$P(A_5\cup A_6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

Eventi qualsiasi

Dato un insieme finito $A_i$ di eventi, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale a:

$\begin{array}{cc}P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=& \sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{i_1<i_2}P(A_{i_1}\cap A_{i_2})+\cdots \\ & +(-1{)}^{r+1}\sum _{i_1<i_2<\cdots <i_r}P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_r})+\cdots \\ & +(-1{)}^{n+1}P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)\end{array}$

dove ciascuna somma $\sum _{i_1<i_2<\cdots <i_r}$ è calcolata per tutti gli $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$ possibili sottoinsiemi di $r$ elementi dell'insieme $\{1,2,\dots ,n\}$.

È questa la formulazione più generale del teorema, che vale anche per eventi non incompatibili e si dimostra come segue.

Se gli eventi considerati non sono a due a due incompatibili, si deve tenere conto delle loro intersezioni. In particolare, la probabilità di due eventi $A$ e $B$, in generale, è pari alla somma delle singole probabilità $P(A)$ e $P(B)$ diminuita della probabilità della loro intersezione:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Infatti, scomponendo sia $A\cup B$ che $B$ in unioni di insiemi disgiunti ed applicando ad esse il quarto assioma, si ha:

$\begin{array}{ccc}& A\cup B=A\cup (\bar{A}\cap B),& P(A\cup B)=P(A)+P(\bar{A}\cap B)\\ & B=(A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B),& P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)\end{array}$

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:

$P(A\cup B)-P(B)=P(A)-P(A\cap B)$

da cui segue la formula data sopra.

Con più di due eventi, alla somma delle probabilità di ciascuno si deve sottrarre la somma delle loro intersezioni due a due, poi aggiungere la somma delle loro intersezioni tre a tre e così via. Nel caso di tre eventi $A,B$ e $C$, si ha:

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

La formula per il caso di $n$ eventi si dimostra per induzione (v. anche il principio di inclusione-esclusione).

Il teorema nella sua forma generale non può essere esteso a unioni numerabili di eventi. In tali casi risulta applicabile solo la disuguaglianza di Boole.

Esempi

Se si lanciano due dadi e si indicano con $A_1$ l'evento "il primo dado dà $6$", con $A_2$ l'evento "il secondo dado dà $6$", l'evento "almeno un dado dà $6$" è unione di due eventi non incompatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno $6$"). La probabilità di ottenere almeno un $6$ (anche più di uno quindi) è dunque:

$P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\frac{11}{36}$

In un ristorante vi sono 3 sale ed entrano 10 persone, ciascuna delle quali sceglie a caso una sala. Qual è la probabilità che almeno una delle sale resti vuota? Le persone possono scegliere le sale in $3^{10}$ modi diversi (numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 10); vi sono $2^{10}$ modi di lasciar vuota una sala (le 10 persone si dispongono solo in due sale). Indicando con $A_i$ l'evento "rimane vuota la $i-$esima sala", le probabilità sono:

$P(A_1)=P(A_2)=\frac{2^{10}}{3^{10}}$

La probabilità dell'evento "rimane vuota una sala" è:

$P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)=\frac{2^{10}+2^{10}-1}{3^{10}}$

in quanto potrebbero restarne vuote due (un solo caso possibile: tutti nell'altra).

Voci correlate

• Probabilità
• Principio di inclusione-esclusione
• Probabilità condizionata
• Indipendenza stocastica
• Teorema della probabilità composta
• Teorema della probabilità assoluta
• Teorema di Bayes
• Legge delle aspettative iterate
• Legge della varianza totale

Collegamenti esterni

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