Limite insiemistico

Template:F In matematica, il limite di una successione di insiemi, $(A_n{)}_n$, è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi $A_n$ e che sono esclusi al più da un numero finito di essi.

Successioni monotone

Una successione di insiemi $(A_n{)}_n$ viene detta monotona se è:

• crescente (si indica con $A_n\uparrow$), ovvero se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:A_n\subseteq A_{n+1}$;
• decrescente (si indica con $A_n\downarrow$), ovvero se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:A_n\supseteq A_{n+1}$.

In una successione crescente, fissato un n si ha:

$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=A_n$

Il limite di una successione crescente per n tendente all'infinito è definito da:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A$

ed è quindi l'insieme che contiene gli elementi appartenenti a tutti gli insiemi da un certo indice in poi. In simboli: $A_n\uparrow A$.

In una successione decrescente, fissato un n si ha:

$\bigcap _{i=1}^n{A}_i=A_n$

Il limite di una successione decrescente per n tendente all'infinito è definito da:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bigcap _{i=1}^n{A}_i=\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A$

ed è l'insieme che contiene gli elementi contenuti in tutti gli insiemi. In simboli: $A_n\downarrow A$.

Successioni qualsiasi

In generale, data una qualsiasi successione di insiemi, si definiscono:

• limite inferiore:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcap _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)$

l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutti gli insiemi $A_i$ a partire da un indice $n$ in poi (non quelli che appartengono solo agli insiemi $A_1,A_2,\dots ,A_{n-1}$, che sono in numero finito);

• limite superiore:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcup _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_m\right)$

l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutte le unioni $\underset{i=n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{A}_i$; in altri termini, un elemento appartiene al limite superiore se, per qualsiasi $n$, esiste almeno un indice $j\ge n$ tale che l'elemento appartenga ad un insieme $A_j$ e, perché ciò si verifichi, è sufficiente che l'elemento appartenga ad infiniti insiemi della successione.

La definizione del limite inferiore è più restrittiva e si ha quindi sempre:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n\subseteq \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n$

Se il limite inferiore e quello superiore coincidono, la successione è detta convergente ed il suo limite è:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n$

Usando la notazione della funzione indicatrice, si può anche dire che l'insieme limite è definito come:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\{x:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\chi }_{A_n}(x)=1\}$

Voci correlate

• Lemma di Borel-Cantelli