Assiomi di Kolmogorov

Gli assiomi di Kolmogorov sono una parte fondamentale della teoria della probabilità di Andrey Kolmogorov. In essi, la probabilità P di qualche evento E, indicata come $P(E)$, è definita in modo da soddisfare questi assiomi. Gli assiomi sono descritti di seguito.

Questi assiomi possono essere riassunti come segue: Sia (Ω, F, P) uno spazio mensurale con P(Ω) = 1. Allora (Ω, F, P) è lo spazio delle probabilità, con spazio campionario Ω, spazio degli eventi F e misura della probabilità P.

Un approccio alternativo alla formalizzazione della probabilità, proposto da alcuni bayesiani, è dato dal teorema di Cox .

Assiomi

Primo assioma

La probabilità di un evento è un numero reale non negativo:

$P(E)\in ℝ,P(E)\ge 0\mathrm{\forall }E\in F$

dove $F$ è lo spazio degli eventi. Segue che $P(E)$ è sempre finito, in contrasto con la più generale teoria della misura. Teoria che assegna probabilità negativa in relazione al primo assioma.

Secondo assioma

La probabilità dell'intero spazio campione è 1 (Ipotesi della misura unitaria)

$P(\mathrm{\Omega })=1.$

Terzo assioma

Qualsiasi sequenza numerabile di insiemi disgiunti (sinonimo di eventi reciprocamente esclusivi) $E_1,E_2,\dots$ soddisfa

$P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(E_i).$

Alcuni autori considerano unicamente spazi di probabilità puramente additivi, in tal caso è necessaria solo un'algebra di insiemi, piuttosto che una σ-algebra .

Conseguenze

Dagli assiomi di Kolmogorov si possono dedurre altre regole utili per il calcolo delle probabilità.

La probabilità dell'insieme vuoto

$P(\varnothing )=0.$

In alcuni casi, $\varnothing$ non è l'unico evento con probabilità 0.

Monotonicità

$\text{se}A\subseteq B\text{allora}P(A)\le P(B).$

Se A è un sottoinsieme di B, o uguale a B, allora la probabilità di A è inferiore o uguale alla probabilità di B.

Dimostrazione:

P(B) = P(B∩Ω) = P(B∩(A^c∪A)) = P((B∩A)∪(B∩A^c)) = P((B∩A) + P(B∩A^c) = P(A) + P(B∩A^c) >= P(A)

L'intervallo di definizione

Segue immediatamente dalla proprietà di monotonicità che

$0\le P(E)\le 1\mathrm{\forall }E\in F.$

Ulteriori conseguenze

Un'altra proprietà importante è:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Questa è chiamata la legge addizionale della probabilità, o la regola della somma. Cioè, la probabilità che accada o A o B, è la somma delle probabilità che A accada e che B accada, meno la probabilità che accadranno sia A che B. La dimostrazione di ciò è:

In primo luogo,

$P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)$ (per il terzo Assioma)

Quindi,

$P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))$ (perché $B\setminus A=B\setminus (A\cap B)$).

E,

$P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)$

sottraendo $P(B\setminus (A\cap B))$ da entrambe le equazioni otteniamo il risultato voluto.

Un'estensione della legge addizionale a qualsiasi numero di insiemi è il principio di inclusione-esclusione .

Chiamando B come complemento A ^c di A nella legge addizionale si ottiene

$P\left(A^c\right)=P(\mathrm{\Omega }\setminus A)=1-P(A)$

Cioè, la probabilità che un evento non accada (o il complemento dell'evento) è 1 meno la probabilità che accada.

Esempio semplice: lancio della moneta

Prendiano in considerazione il lancio di una singola moneta e presumiamo che esca o testa (T) o croce (C) (ma non entrambe). Non ipotizza che la moneta sia bilanciata.

Possiamo definire:

$\mathrm{\Omega }=\{C,T\}$

$F=\{\varnothing ,\{C\},\{T\},\{C,T\}\}$

Gli assiomi di Kolmogorov implicano che:

$P(\varnothing )=0$

La probabilità di non avere testa o croce è 0.

$P(\{C,T{\}}^c)=0$

La probabilità di una testa o croce, è 1.

$P(\{C\})+P(\{T\})=1$

La somma della probabilità delle teste e delle croci è 1.

Bibliografia

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Voci correlate

• Algebra di Borel
• σ-algebra
• Insiemistica
• Probabilità condizionale

Collegamenti esterni

• Calcolo delle probabilità di Kolmogorov, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• La definizione formale di probabilità nel sistema Mizar e l' Template:Collegamento interrotto hanno dimostrato formalmente al riguardo.