Teorema della permanenza del segno

Il teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l'oggetto che vi converge è sempre positivo "da un certo punto in poi" o in un "certo intorno". Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Successioni

Enunciato

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che:

Una successione $\{a_n\}$ che tende a un limite strettamente positivo $a>0$ (che può essere anche $+\mathrm{\infty }$) ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un $N$ tale che $a_n>0$ per ogni $n>N$.

Analogamente, una successione che tende a un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.

Dimostrazione

Se $a$ è finito, basta prendere $\epsilon =\frac{a}{2}$ nella definizione di limite: esiste quindi un $N$ tale che $a_n$ è nell'intervallo $(a-\frac{a}{2},a+\frac{a}{2})$ per ogni $n>N$; poiché $a-\frac{a}{2}>0$, allora $a_n>0$ per ogni $n>N$.

Se $a=+\mathrm{\infty }$, per la definizione di divergenza, dato un $M>0$ qualsiasi, esiste $N$ tale che $a_n>M$ per ogni $n>N$.

Esempi

• La successione

$a_n={(1+\frac{1}{n})}^n-2,5$

converge ad $e-2,5$, dove $e=2,71828\dots$ è il numero di Nepero. Il limite $e-2,5=0,21828\dots$ è strettamente positivo, quindi esiste un $N$ tale che $a_n>0$ per ogni $n>N$.

• Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio $a_n=(-1{)}^n/n$

$-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},\dots$

Funzioni

Enunciato per una funzione non necessariamente continua in x₀.

Poiché f(x₀)>0, esiste un intorno U di x₀ (in verde) tale che f(x)>0 in U

Sia $f:X\to ℝ$ una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme $X$ dei numeri reali, che ha limite

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l>0$

strettamente positivo in un punto $x_0$ di accumulazione per $X$.

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ in $U\cap X$ diverso da $x_0$.

Dimostrazione

Poiché $l>0$ si può porre $\epsilon =l$. Per l'ipotesi dell'esistenza del limite, e quindi per definizione di limite, esiste certamente in corrispondenza di $\epsilon =l$ un intorno $U$ di $x_0$ tale che $|f(x)-l|<l=\epsilon$ per ogni $x\ne x_0$ del dominio in $U$. Quindi, per tali $x$ si ha $l-l<f(x)<l+l$ , cioè $0<f(x)<2l$, pertanto la funzione è positiva in $U\cap X$, escluso al più $x_0$.

Nota

Se $l<0$, esisterà un intorno $U$ di $x_0$, in cui, in ogni suo punto escluso al più $x_0$, $f(x)<0$ . Nella dimostrazione si dovrà prendere $\epsilon =-l$ , risultando così $l+l<f(x)<0$ in $U\cap X$ escluso al più $x_0$.

Enunciato per una funzione continua in x₀ .

Sia $f:X\to ℝ$ una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme $X$ dei numeri reali, tale che:

$f(x_0)>0$

dove $x_0$ è un punto di accumulazione per $X$.

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ in $U\cap X$.

Dimostrazione

L'ipotesi di continuità di $f$ implica che:

$\underset{x\to x_{{}_0}}{\lim }f(x)=f(x_0)$

Per ipotesi, $f(x_0)>0$, dunque per il teorema precedente segue l'asserto.

Nota

Se $f(x_0)<0$ il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale per cui per ogni $x\in U\cap X$ si abbia $f(x)<0$.

Osservazione 1

In questo teorema da $U\cap X$ non va escluso $x_0,$ essendo $f$ continua in $x_0.$

Osservazione 2

Se $X$ è un intervallo, si può omettere di specificare che $x_0$ debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l'intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.

Nota 1

Se $l<0$, esisterà un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale $f(x)<0$ . Nella dimostrazione si potrà prendere $\epsilon =-l$ , risultando così $l+l<f(x)<0$ in $U\cap X$ (da cui non si esclude $x_0,$ per la continuità di $f$ anche in $x_0.$)

Per mezzo del teorema della permanenza del segno si dimostra il così détto suo "inverso".

Inverso del teorema della permanenza del segno.

Sia $f$ una funzione reale a variabile reale definita nell'intervallo aperto $X$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$.

a) Se esiste un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_0,$ è $f(x)\ge 0,$ allora $l\ge 0.$

b) Se esiste un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_0,$ è $f(x)\le 0,$ allora $l\le 0.$

Dimostrazione

a) Negando la tesi, si ha $l<0$. Per il teorema della permanenza del segno esiste certamente un intorno $U^{*}$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_0$, risulta $f(x)<0$. Ma allora in ogni punto $x\ne x_0$ di $U^{*}\cap U\cap X$ risulta sia $f(x)\ge 0$ (per ipotesi) sia $f(x)<0$, ma ciò è assurdo: $f$ non può assumere valori distinti in uno stesso punto $x.$ Dunque è $l\ge 0.$

b) Come in a) mutatis mutandis.

Osservazione 3

Gli inversi dei teoremi si ottengono, quando è possibile, scambiando ipotesi e tesi. Nell'inverso del teorema della permanenza del segno si fa abuso di linguaggio perché non c'è perfetto scambio tra ipotesi e tesi a causa della presenza del segno uguale.

Nota 2

Ovviamente nell'enunciato del teorema non si esclude $x_0$ se $f$ è continua in $x_0$ . In tale caso, come è noto, è $l=f(x_0)$.

Bibliografia

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