Teorema della media integrale

In matematica, il teorema della media integrale è un teorema che mette in relazione le nozioni di integrale e di funzione continua per le funzioni di una variabile reale. Una funzione continua definita su un intervallo ha come immagine ancora un intervallo: il teorema della media integrale stabilisce che la media integrale della funzione sia un valore incluso nell'intervallo immagine.

Il teorema

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione $f$ su un intervallo $[a,b]$ (in cui $f$ è continua) calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di $N+1$ punti distribuiti uniformemente nell'intervallo, cioè si suddivide l'intervallo in $N$ sottointervalli $[x_k,x_{k+1}],$ con $k=0,\dots ,N,$ tutti di lunghezza $(b-a)/N$ e si calcola la media:

$\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}f(x_i)=\frac{1}{b-a}\sum _{i=1}^N\frac{b-a}{N}f(x_i).$

Dalla definizione di integrale di Riemann segue che considerando quantità $N$ sempre maggiori di punti questa espressione converge al valore:

$\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

che viene chiamato media integrale di $f$.

Il teorema afferma che se $f:[a,b]\to ℝ$ è continua (quindi integrabile) allora esiste almeno un valore $c\in [a,b]$ tale che:

$\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(c).$

In modo equivalente:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)f(c).$

Dimostrazione

Essendo $f$ continua in $[a,b]$, per il teorema di Weierstrass essa è dotata di massimo $M$ e di minimo $m$ su $[a,b]$, quindi si ha:

$m\le f(x)\le M.$

Dalla proprietà di monotonia dell'integrale risulta:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}mdx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}Mdx.$

Nei membri a destra e a sinistra della disuguaglianza si sta integrando una funzione costante, quindi si ha:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}mdx=m\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx=m(b-a)$

e analogamente:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}Mdx=M\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx=M(b-a).$

Si ottiene quindi:

$m(b-a)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le M(b-a),$

ovvero, se $b>a$:

$m\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le M.$

Per il teorema dei valori intermedi $f$ deve assumere in $[a,b]$ tutti i valori compresi tra:

$\underset{[a,b]}{\sup }f=M\text{ e }\underset{[a,b]}{\inf }f=m,$

quindi, in particolare, esiste almeno una $c\in [a,b]$ tale che:

$f(c)=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Derivata
• Funzione continua
• Integrale
• Media (statistica)
• Teorema della media pesata
• Teorema dei valori intermedi
• Teorema di Weierstrass