Teorema del differenziale totale

Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata, a meno di un resto infinitesimo, da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto; condizione sufficiente affinché la funzione possegga tale proprietà è che tutte le derivate parziali siano continue in tale punto ed esistano in un intorno di esso (non devono essere necessariamente continue nell'intorno del punto).

Enunciato

Sia $A$ un aperto di ${ℝ}^n$, sia $\overrightarrow{x_0}\in A$ e sia $f:A\to ℝ$ una funzione tale che vi sia una palla $B(\overrightarrow{x_0},r)\subseteq A$ in cui esistono tutte le $n$ derivate parziali (per ogni $\overrightarrow{x}\in B(\overrightarrow{x_0},r),$ quindi anche nel punto $\overrightarrow{x_0}$) e siano continue nel punto $\overrightarrow{x_0}$. Allora la funzione è differenziabile in $\overrightarrow{x_0}.$

Dimostrazione per n=2

Per la definizione di differenziabilità, si deve mostrare che:

$\underset{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)-\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0.$

Iniziamo valutando la differenza $f(x,y)-f(x_0,y_0).$ Aggiungendo e sottraendo $f(x,y_0)$ otteniamo $f(x,y)-f(x,y_0)+f(x,y_0)-f(x_0,y_0).$

Per il teorema di Lagrange esistono due numeri $\xi$ e $\eta$ tali che $x_0<\xi <x$ e $y_0<\eta <y$ per i quali vale

$f(x,y_0)-f(x_0,y_0)=f_x(\xi ,y_0)(x-x_0)$ e $f(x,y)-f(x,y_0)=f_y(x,\eta )(y-y_0).$

Sommando membro a membro e riconsiderando la differenza valutata in partenza si ottiene

$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(\xi ,y_0)(x-x_0)+f_y(x,\eta )(y-y_0),$

$\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=\frac{f_x(\xi ,y_0)(x-x_0)+f_y(x,\eta )(y-y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}.$

Il secondo membro a sua volta può essere scritto come

$\frac{(x-x_0)[f_x(\xi ,y_0)-f_x(x_0,y_0)]+(y-y_0)[f_y(x,\eta )-f_y(x_0,y_0)]}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}.$

Le quantità $\frac{(x-x_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}$ e $\frac{(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}$ sono entrambe limitate in valore assoluto. Infatti, dalla disuguaglianza triangolare segue che

$\frac{|x-x_0|}{||x-x_0,y-y_0||}\le \frac{||x-x_0,y-y_0||}{||x-x_0,y-y_0||}=1,$

e analogamente

$\frac{|y-y_0|}{||x-x_0,y-y_0||}\le \frac{||x-x_0,y-y_0||}{||x-x_0,y-y_0||}=1.$

Inoltre quando $x\to x_0$ e $y\to y_0$ anche $\xi \to x_0$ e $\eta \to y_0$ per quanto scritto sopra. Questo, per la continuità delle derivate, implica che $|f_x(\xi ,y_0)-f_x(x_0,y_0)|\to 0$ e $|f_y(x,\eta )-f_y(x_0,y_0)|\to 0,$ dimostrando così il teorema.

Bibliografia

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