Formule di Waring

Template:F Le formule di Waring sono formule algebriche utilizzate nella soluzione di un sistema simmetrico, e derivano dalle teorie di Edward Waring, matematico britannico del XVIII secolo.

Le formule più utilizzate sono quelle per potenze del binomio di ordine $n=2$ oppure $n=3$, che sono quelle del quadrato e cubo del binomio. Questo calcolo serve a trasformare le potenze del binomio di variabili $a$ e $b$ in somme e prodotti di queste variabili. Tali somme e prodotti di queste variabili sono riconducibili alla forma canonica di un sistema simmetrico. Da notare che: Template:Tutto attaccato e $p=ab$.

1. $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=s^2-2p;$
2. $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3a^{2}b-3a{b}^2=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=s^3-3ps;$
3. $a^4+b^4=(a+b{)}^4-4a^{3}b-6a^2{b}^2-4a{b}^3=(a+b{)}^4-4ab(a^2+b^2)-6a^2{b}^2=s^4-4p(s^2-2p)-6p^2=s^4-4p{s}^2+2p^2;$
4. $a^5+b^5=(a+b{)}^5-5ab(a^3+b^3)-10a^2{b}^2(a+b)=s^5-5p{s}^3+5p^{2}s;$
5. $a^6+b^6=(a+b{)}^6-6ab(a^4+b^4)-15a^2{b}^2(a^2+b^2)-20a^3{b}^3=s^6-6p{s}^4+9p^2{s}^2-2p^3;$
6. $a^7+b^7=(a+b{)}^7-7ab(a^5+b^5)-21a^2{b}^2(a^3+b^3)-35a^3{b}^3(a+b)=s^7-7p{s}^5+14p^2{s}^3-7p^{3}s;$
7. $a^8+b^8=(a+b{)}^8-8ab(a^6+b^6)-28a^2{b}^2(a^4+b^4)-56a^3{b}^3(a^2+b^2)-70a^4{b}^4=s^8-8p{s}^6+20p^2{s}^4-16p^3{s}^2+2p^4.$

Per il postulato di Peano, la formula di Waring è deducibile per ogni potenza $n.$ Infatti la proprietà $P(n)$ è stata dedotta per $n=2,3,4,$ nei quali sono stati messi in evidenza i successivi passaggi algebrici, ed è perciò generalizzabile a $n$ qualsiasi.

Come già per la quarta potenza nella quale viene sostituita la formula della seconda potenza del binomio, la ricorsione delle prime 4 in quelle di ordine $n$-esimo, permette di esprimere il tutto in potenze della somma e prodotto delle variabili $a$ e $b.$ È opportuno vedere le formule di Waring in relazione ai sistemi simmetrici in quanto sono nate ed essenzialmente si usano in questo contesto, nel quale è necessario trasformare le variabili in somme e prodotti.

La risoluzione con questo metodo per ogni potenza $n$ è evidente se si considera il triangolo di Tartaglia: data una potenza $n,$ per ogni termine del tipo $a^k{b}^{(n-k)}$, ne esiste uno del tipo $a^{(n-k)}{b}^k$. Con un raccoglimento a fattor comune dei due termini, si otterranno: un termine del tipo $a^{(n-k)}{b}^{(n-k)}(a^{(2k-n)}+b^{(2k-n)})$, per $n-k<k$, ossia $n<2k$.

Le formule di Waring sono deducibili (per una data potenza $n$) dalla formula di Tartaglia, scomponendo la sommatoria in tre tipi di termini:

• $a^n+b^n$,
• $a^{n/2}{b}^{n/2},$ per $n$ pari,
• $a^m{b}^m(a^o+b^o),$ dove:

$m=[1;n],$

$o=[1;n-2k]$ con $k$ numero intero.

Dunque, nelle sommatorie troviamo: la potenza $n$-esima del binomio, il prodotto dei termini elevato a metà potenza, dei termini "misti" di potenze del prodotto dei termini e di loro somme secondo multipli interi di 2 (fino a $n$; o $n-1$, se $n$ è dispari).

Abbiamo riportato le formule di Waring per potenze superiori alla quarta per generalizzare agevolmente la formula, a $n$ qualsiasi.

$a^n+b^n=(a+b{)}^n-\sum _{i=1}^{f_1}{T}_i{a}^i{b}^i[a^{n-2i}+b^{n-2i}]-f_2,$

dove:

• per $n$ dispari, $f_1=n/2$ e $f_2=0$;
• per $n$ pari, $f_1=[n/2-1]$ e $f_2=T_i{a}^{n/2}{b}^{n/2}$, con $T_i$ coefficiente $i$-esimo del triangolo di Tartaglia per la potenza $n$, iniziando a contare da quello più a sinistra.

Voci correlate

• Edward Waring
• Problema di Waring

Collegamenti esterni

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